2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第三章 第七節(jié)正弦定理和余弦定理 文

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1、 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題. 知識(shí)梳理 一、三角形中的各種關(guān)系  設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A,B,C. 1.三內(nèi)角的關(guān)系:____________. 2.邊與邊關(guān)系:___________________________________. 3.邊與角關(guān)系: (1)正弦定理:______________=2R.(R為△ABC外接圓半徑) (2)余弦定理:__________________________________. 它們的變式有:cos A=____________,c

2、os B=____________,cos C=____________,a∶b∶c=________,=________. (3)常用三角形面積公式:S△=_____________________. 二、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式 由A+B+C=π知,A=π-(B+C)可得出 sin A=________,cos A=________. 而=-,有sin=________,cos=________. 三、三角形度量問題 求邊、角、面積、周長(zhǎng)及有關(guān)圓半徑等. 條件 角角邊 邊邊角 邊邊邊 邊角邊 適用定理 正弦 定理 正弦定理或 余弦定理 余弦 定理

3、 余弦 定理 其中“邊邊角”(abA)類型利用正弦定理求角時(shí)應(yīng)判定三角形的個(gè)數(shù): A<90 A≥90 1 / 6 a≥b absin A a=bsin A ab a≤b 一解 兩解 一解 無解 一解 無解 四、判斷三角形的形狀特征,必須深入地研究邊、角間的關(guān)系 1.幾個(gè)常用基本結(jié)論:①a=b或A=B?等腰三角形;②a2+b2=c2或A=90?直角三角形;③a2>b2+c2或A>90?鈍角三角形;④若a為最大邊且a2<b2+c2或A為最大角且A<90?銳角三

4、角形;⑤若sin A=sin B?等腰三角形;⑥若sin 2A=sin 2B?等腰三角形或直角三角形. 2.基本思想方法:從條件出發(fā),利用正弦定理(或余弦定理)進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化.逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系,即通過考慮如下兩條途徑:①統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷,常用正弦定理及三角恒等變換;②統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷,常用余弦定理、面積公式等. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.(2013湖南卷)在銳角ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b. 若2asin B=b,則角A等于(  ) A.     B. C. D. 解析:由2asin B=b得2sin Asin B=sin B , 所以si

5、n A=,因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以A=,故選A. 答案:A 2.(2013汕頭二模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=,△ABC的面積S△ABC=,則△ABC的周長(zhǎng)為(  ) A.6 B.5 C.4 D.4+2 解析:在△ABC中,∵△ABC的面積S△ABC==absin C=ab,∴ab=4. 再由余弦定理 c2=4=a2+b2-2abcos C=a2+b2-4, ∴a2+b2=8, ∴a+b===4, 故△ABC的周長(zhǎng)為 a+b+c=4+2=6,故選A. 答案:A 3.(2012廣東六校

6、聯(lián)考)已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若a=1,b=,且B是 A與C的等差中項(xiàng),則sin A=__________. 解析:依題意B=180-(A+C)=180-2B,得B=60,由正弦定理得=,得sin A==. 答案: 4.(2012衡陽(yáng)模擬)在銳角三角形ABC中,BC=1,∠B=2∠A,則等于______,AC的取值范圍為______________. 解析:設(shè)∠A=θ?∠B=2θ.由正弦定理得 =,∴=1?=2. 由銳角三角形ABC得0<2θ<90?0<θ<45. 又0<180-3θ<90?30<θ<60, 故30<θ<45?<co

7、s θ<. ∴AC=2cos θ∈(,). 答案:2 (,) 一、1.A+B+C = π 2.a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a < b 3.(1)== (2)c2 = a2+b2-2abcos C, b2 = a2+c2-2accos B,a2 = b2+c2-2bccos A    sin A∶sin B∶sin C  (3)aha=absin C=acsin B=bcsin A 二、sin(B+C) -cos(B+C) cos sin 1. (2013天津卷)在△ABC中,∠

8、ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC=(  ) A.     B. C. D. 解析:在△ABC中,由余弦定理 AC2=BA2+BC2-2BABCcos∠ABC=()2+32-23 cos =5. ∴AC=,由正弦定理=得 sin∠BAC====,故選C. 答案:C 2.(2012福建卷)在△ABC中,已知∠BAC=60,∠ABC45,BC=,則AC=________. 解析:在△ABC中,利用正弦定理得 =?=?AC==. 答案: 1.(2012浙江名校新高考聯(lián)盟二聯(lián)) 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a2

9、+c2-b2)tan B=ac,則角B的值為(  ) A. B. C.或 D.或 解析:∵(a2+c2-b2)tan B=ac,∴cos B===.整理得:sin B=,即B=或.故選C. 答案:C 2.(2013韶關(guān)二模)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且滿足csin A+acos C=0. (1)求C的值; (2)若cos A=,c=5,求sin B和b的值. 解析:(1)將csin A+acos C=0利用正弦定理化簡(jiǎn)得:2Rsin Csin A+2Rsin Acos C=0, 即2sin Csin A+2sin Acos C=0, ∵sin A≠0,∴sin C+cos C=0,即tan C=-, ∵C∈(0,π),∴C=; (2)∵cos A=,A∈,∴sin A==,則sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=, ∵sin B=,c=5,sin C=sin =, 則由正弦定理=,得: b===3-4. 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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