《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第七章 第五節(jié)橢圓(一) 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第七章 第五節(jié)橢圓(一) 文(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第五節(jié) 橢 圓 (一)
1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.
知識(shí)梳理
一、橢圓的定義
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于定長(zhǎng)2a的點(diǎn)的軌跡叫做________,即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}是橢圓.其中兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫做____________,定點(diǎn)間的距離叫做____________(注意:2a=時(shí),點(diǎn)的軌跡為線段F1F2,2a<時(shí),無軌跡).
二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在x軸上:+=1(a>b>0);
焦點(diǎn)在y軸上:+=1(a>b>0).
四、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)
2、
1 / 7
標(biāo)準(zhǔn)方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
圖形
中心
(0,0)
(0,0)
焦點(diǎn)
F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)
F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c)
頂點(diǎn)
(a,0),(0,b)
(b,0),(0,a)
軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸|A1A2|的長(zhǎng)2a,短軸|B1B2|的長(zhǎng)2b,|B2O|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a
離心率
e=(0
3、橢圓 焦點(diǎn) 焦距
三、1.+>1 2.+=1 3.+<1
基礎(chǔ)自測(cè)
1.(2012長(zhǎng)春模擬)橢圓x2+4y2=1的離心率為( )
A. B. C. D.
解析:先將x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程+=1,
則a=1,b=,c==.
所以離心率e==.故選A.
答案:A
2.(2013大綱全國(guó)卷) 已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=3, 則C的方程為( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4、解析:設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),
與直線x=1聯(lián)立得y=,
因?yàn)閏=1,所以2b2=3a,
即2(a2-1)=3a,2a2-3a-2=0,a>0,
解得a=2(負(fù)值舍去),所以b2=3,
故所求橢圓方程為+=1.故選C.
答案:C
3.(2013揚(yáng)州模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長(zhǎng)度為________.
解析:根據(jù)橢圓定義,知△AF1B的周長(zhǎng)為4a=16,
故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16-10=6.
答案:6
4.橢圓3x2+ky2=3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,),則k
5、=________________.
解析:方程3x2+ky2=3可化為x2+=1,
a2=>1=b2,
c2=a2-b2=-1=2,解得k=1.
答案:1
1.(2013廣東卷)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:依題意c=1,因?yàn)殡x心率e=,
所以a=2,從而b=,
所以橢圓方程為+=1.故選D.
答案:D
2.(2013江西卷)橢圓C:+=1(a>b>0)的離
6、心率e=,a+b=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明:2m-k為定值.
解析:(1)因?yàn)閑==,
故==1-=,
所以a=2b,再由a+b=3得a=2,b=1,
∴橢圓C的方程為:+y2=1.
(2)因?yàn)锽(2,0),P不為橢圓頂點(diǎn),
則BP方程為y=k(x-2)
.①
將①代入+y2=1,解得P.
又直線AD的方程為y=x+1,②
①與②聯(lián)立解得M,
由D(0,1),P,
N(x,0)三點(diǎn)共線可解得
7、N,
所以MN的分斜率為m=,
則2m-k=-k=(定值) .
1.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為______.
解析:|PF1|+|PF2|=10,
|PF1|=10-|PF2|,
|PM|+|PF1|=10+|PM|-
易知點(diǎn)M在橢圓外,
連接MF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P,
此時(shí)|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,
故|PM|+|PF1|的最大值為
10+|MF2|=10+=15.
答案:15
2.(2013梅州二模)已知圓C:(x-4)2+(y-m)2=
8、16(m∈N*),直線4x-3y-16=0過橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),且交圓C所得的弦長(zhǎng)為,點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上.
(1)求m的值及橢圓E的方程;
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.
解析:(1)因?yàn)橹本€4x-3y-16=0交圓C所得的弦長(zhǎng)為,
所以圓心C(4,m)到直線4x-3y-16=0的距離等于=,
即=,∴m=4或m=-4(舍去).
又因?yàn)橹本€4x-3y-16=0過橢圓E的右焦點(diǎn),
所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2(4,0).
則左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(-4,0),因?yàn)闄E圓E過A點(diǎn),
所以|AF1|+|AF2|=2a.
所以2a=5+=6,a=3,a2=18,b2=2.
故橢圓E的方程為:+=1.
(2)=(1,3),設(shè)Q(x,y).
則=(x-3,y-1).
設(shè)x+3y=n,則由
消x得18y2-6ny+n2-18=0.
由于直線x+3y=n與橢圓E有公共點(diǎn),
所以Δ=(6n)2-418(n2-18)≥0,
所以-6≤n≤6,
故=x+3y-6的取值范圍為[-12,0].
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