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1、
第八節(jié) 幾何概型
1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.,2.了解幾何概型的意義.
知識梳理
一、幾何概型
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成正比，則這樣的概率模型叫做幾何概型．也就是說：事件A為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．
二、在幾何概型中，事件A發(fā)生的概率的計算公式
P(A)＝＝.
其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量．
三、幾何概型的兩個基本特點
(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果
2、有無限多個．
(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．
四、均勻隨機(jī)數(shù)
均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，我們可以利用計算器或計算機(jī)來產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)，從而來模擬隨機(jī)試驗．其具體方法是：建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量(如概率值、常數(shù))有關(guān)，然后設(shè)計適當(dāng)?shù)脑囼?，并通過這個試驗的結(jié)果來確定這些量．
基礎(chǔ)自測
1．(2013湖北卷)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：當(dāng)m≤2時，顯然不適合題意，當(dāng)m>2時，由＝得m＝3.故選C.
答案：C
2. 在區(qū)間[－π，π
3、]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
答案：B
3.(2013蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研測試(二))如圖，邊長為2的正方形內(nèi)有一個半徑為1的半圓．向正方形內(nèi)任投一點(假設(shè)該點落在正方形內(nèi)的每一點都是等可能的)，則該點落在半圓內(nèi)的概率為________．
2 / 4
解析：正方形的面積為S1＝4，半圓的面積為S2＝，所以，該點落在半圓內(nèi)的概率為P＝＝.
答案：
4．在區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)地取出一個數(shù)a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率為_
4、_______．
解析：由1∈，得a2－a－2<0?－1
5、(1)圓C的圓心到直線l的距離為________；
(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________．
解析： (1)圓心到直線的距離為：d＝＝5;
(2)當(dāng)圓C上的點到直線l的距離是2時，有兩個點為點B與點D，設(shè)過這兩點的直線方程為4x＋3y＋c＝0，同時可得到圓心到直線4x＋3y＋c＝0的距離為OC＝3，
又圓的半徑為r＝2，可得∠BOD＝60，由圖可知點A在劣弧上移動，劣弧弧長l＝
c＝，圓周長c，故P(A)＝＝.
答案：(1)5 (2)
1．(2013伊春模擬)已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標(biāo)為(x，y)(x，y∈R)，則P滿
6、足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率是__________．
解析：如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)．
所以所求的概率P1＝＝.
答案：
2．已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝.
(1)在區(qū)間(－4,4)上任取一個實數(shù)x，求“x∈A∩B”的概率；
(2)設(shè)(a，b)為有序?qū)崝?shù)對，其中a是從集合A中任取的一個整數(shù)，b是從集合B 中任取的一個整數(shù)，求“b－a∈A∪B”的概率．
解析：(1)由已知A＝{x}，
B＝{x}，則A∩B＝{x|－2＜x＜1}．
設(shè)事件“x∈A∩B”的概率為P1，這是一個幾何概型，則P1＝.
(2)因為a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，基本事件共12個：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．
設(shè)事件E為“b－a∈A∪B”，則事件E中包含9個基本事件，
事件E的概率P(E)＝＝.
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