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第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入
第1節(jié) 平面向量的概念及其線性運算
考點 平面向量的概念與線性運算
1．（2013廣東，5分）設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：
①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；
②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c；
③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μ c；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c.
上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是
2、( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：本題主要考查平面向量知識，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理論證能力．顯然①②正確；對于③，當(dāng)μ＜|a|sina，b時，不存在符合題意的單位向量c和實數(shù)λ，③錯；對于④，當(dāng)λ＝μ＝1，|a|＞2時，易知④錯．
答案：B
2．（2013新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則＝________.
解析：本題考查平面向量的基本定理及基本運算，是基本題目，意在考查考生的運算求解能力．
選向量的基底為，，則＝－，＝＋，那么＝(－)＝2.
答案：
3、2
3（2013江蘇，5分）．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．
解析：本題考查向量的基本定理、向量的運算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
答案：
4．（2010安徽，5分）設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(，)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．|a|＝|b| B．a(chǎn) b＝
C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直
解析：|a|＝＝1，|b|＝＝；
ab＝1＋0＝；(a－b)b＝ab－|b|2＝－
4、＝0，故a－b與b垂直．
答案：D
5.（2010山東，4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動，當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標(biāo)為________．
解析：如圖，作CQ∥x軸，PQ⊥CQ，Q為垂足．根據(jù)題意得劣弧D＝2，故∠DCP＝2弧度，則在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－)＝－cos 2，所以P點的橫坐標(biāo)為2－|CQ|＝2－sin 2，P點的縱坐標(biāo)為1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P點的坐標(biāo)為(2－sin 2，1－co
5、s 2)，此即為向量的坐標(biāo)．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________.
解析：設(shè)AC與BD的交點為O，則＝2＝22＋2＝232＋0＝18.
答案：18
7．（2011浙江，4分）若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是________．
解析：對于以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積S0＝|α||β|sin〈α，β〉2＝|β|sin〈α，β〉＝，因此sin〈α，β〉＝∈[，1]，因此α與β的夾角θ的取值范圍是[，]．
答案：[，]
8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．
解析：由于 α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.
答案：
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