5、sin A>sin B易判斷0tan B，即充分性成立；
由正切函數(shù)的單調性知，若tan A>tan B，則0sin B，從而必要性成立，故選C.
題型一 四種命題及真假判斷
例1 (1)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是 ( )
A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)
B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)
C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)
D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)
(2)已知命題“若函數(shù)
6、f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結論正確的是 ( )
A．否命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題
B．逆命題“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”是假命題
C．逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”是真命題
D．逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題
思維啟迪 利用四種命題的定義判斷四種命題形式是否正確，可利用四種命題的關系判斷命題是否為真．
答案 (1)B (2)D
解析
7、(1)否命題既否定條件又否定結論，注意“f(x)是奇函數(shù)”的否定是“f(x)不是奇函數(shù)”而不是“f(x)是偶函數(shù)．”
(2)命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．
思維升華 (1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵；(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假；(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．
(1)命題“若α＝，則cos α＝”的逆命題是 (
8、 )
A．若α＝，則cos α≠
B．若α≠，則cos α≠
C．若cos α＝，則α＝
D．若cos α≠，則α≠
(2)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是 ( )
A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)命題“若α＝，則cos α＝”的逆命題是
“若cos α＝，則α＝”．
(2)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是
9、偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.
題型二 充要條件的判定
例2 已知下列各組命題，其中p是q的充分必要條件的是 ( )
A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點
B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù)
C．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β
D．p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?UB??UA
思維啟迪 首先要分清條件和結論，然后可以從邏輯推理、等價命題或集合的角度思考問題，做出判斷．
答案 D
解析 對于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點，可得Δ＝m2－4(m
10、＋3)>0，從而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分條件；
對于B，由＝1?f(－x)＝f(x)?y＝f(x)是偶函數(shù)，但由y＝f(x)是偶函數(shù)不能推出＝1，例如函數(shù)f(x)＝0，所以p是q的充分不必要條件；
對于C，當cos α＝cos β＝0時，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件；
對于D，由A∩B＝A，知A?B，所以?UB??UA；
反之，由?UB??UA，知A?B，即A∩B＝A.
所以p?q.
綜上所述，p是q的充分必要條件的是D.
思維升華 充要條件的三種判斷方法
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷；
(2)集
11、合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷；
(3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何種條件．
(1)(2012福建)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
(2)設集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的
12、 ( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 (1)D (2)C
解析 (1)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，
∴ab＝2(x－1)＋21＝2x.
又a⊥b?ab＝0，∴2x＝0，∴x＝0.
(2)因為A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，
B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}
＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件.
13、
題型三 充分條件與必要條件的應用
例3 (1)函數(shù)f(x)＝有且只有一個零點的充分不必要條件是 ( )
A．a<0 B．01
(2)設p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A. B.
C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪
思維啟迪 (1)根據(jù)圖象交點先求得f(x)有一個零點的充要條件，再利用“以小推大”(集合間關系)判定；(2)考慮條件所對應集合間的包含關系．
答案 (1)A (2)
14、A
解析 (1)因為函數(shù)f(x)過點(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個零點?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無公共點．由數(shù)形結合，可得a≤0或a>1.
觀察選項，根據(jù)集合間關系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，
∴答案選A.
(2)p：|4x－3|≤1?－1≤4x－3≤1，
∴≤x≤1；
q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0?(x－a)[x－(a＋1)]≤0，
∴a≤x≤a＋1.
由題意知p是q的充分不必要條件，故有或，則0≤a≤.
思維升華 充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意：
(1
15、)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．
(1)若“x2>1”是“x0)，命題q：實數(shù)m滿足方程＋＝1表示的焦點在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，a的取值范圍為________．
答案 (1)－1 (2)
解析 (1)由x2>1，得x<－1，或x>1.
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，
所
16、以a≤－1，即a的最大值為－1.
(2)由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0.
由＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，
可得2－m>m－1>0，解得1
17、的包含關系；
(3)利用集合間的關系列出關于m的不等式，求出實數(shù)m的范圍．
規(guī)范解答
解 化簡集合A，
由y＝x2－x＋1.
配方，得y＝2＋.
∵x∈，
∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈.
∴A＝. [4分]
化簡集合B，由x＋m2≥1，
得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}． [6分]
∵命題p是命題q的充分條件，
∴A?B. [9分]
∴1－m2≤，解得m≥，或m≤－. [13分]
∴實數(shù)m的取值范圍是∪. [14分]
溫馨提醒 本例涉及參數(shù)問題，直
18、接解決較為困難，先用等價轉化思想，將復雜、生疏
的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關
系問題中，常常要利用集合的包含、相等關系來考慮，這是破解此類問題的關鍵．
方法與技巧
1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．
2．充要關系的幾種判斷方法
(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．
(2)等價法：即利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的
19、等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法．
(3)利用集合間的包含關系判斷：設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件．
失誤與防范
1．當一個命題有大前提而要寫出其它三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動．
2． 判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結構，可以先把命題改寫成“若p則q”的形式．
3． 判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言．
A組 專項基礎訓練
(時間：30分鐘)
一、選擇題
1． 命題“若一
20、個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是 ( )
A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”
B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”
C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”
D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”
答案 B
解析 依題意，得原命題的逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．
2． 下列命題中為真命題的是 ( )
A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題
B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題
C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題
D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題
答案 A
解析
21、對于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因為x>|y|＝，必有x>y；對于B，否命題：若x≤1，則x2≤1，是假命題．如x＝－5，x2＝25>1；對于C，其否命題：若x≠1，則x2＋x－2≠0，因為x＝－2時，x2＋x－2＝0，所以是假命題；對于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.
3． 已知集合M＝{x|0
22、所以a∈M?a∈N，反之，則不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分條件．故選B.
4． 與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是 ( )
A．若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac
B．若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac
C．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列
D．若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列
答案 D
解析 因為原命題與其逆否命題是等價的，所以與命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”等價的命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”．
5． 已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，則“m＝－3”是“a∥b”的
23、 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當m＝－3時，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，則a＝9b，
所以a∥b，即“m＝－3”?“a∥b”；
當a∥b時，m2＝9，得m＝3，
所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”D?/“a∥b”．
故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件．
6． 若0x”的 ( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
答案 A
解析 因為0
24、?xsin x<，
不能推出>x?xsin x<1，
故充分性不成立，反之成立，即必要性成立，
所以<是>x的必要不充分條件．
7． 給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中，真命題的個數(shù)是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 C
解析 原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題；
它的逆命題為“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，
則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”，
顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題．
因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個命題中
25、真命題只有1個．
8． 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是 ( )
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖象關于直線x＝1對稱，則m＝－2；反之也成立．
所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是m＝－2.
二、填空題
9． 若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，當a＝0時，－3≤0成立；
當a≠0時，得，
解得－3≤a<0，故
26、－3≤a≤0.
10．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中正確命題的個數(shù)是________．
答案 2
解析 其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題．
11．“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)與向量b＝(2,2－x)共線”的________條件．
答案 充分不必要
解析 若a＝(x＋2,1)與b＝(2,2－x)共線，
則有(x＋2)(2－x)＝2，解得x＝，
所以“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)與向量b＝(2,2－x)共線”的充分不必要條件．
12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取
27、值范圍是________．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或，∴0≤m≤2.
B組 專項能力提升
(時間：15分鐘)
1． 若集合A＝{x|2
28、”是“A∩B＝?”的充分不必要條件．
2．“λ<1”是“數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)是遞增數(shù)列”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)為遞增數(shù)列，
則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，
于是可得3>2λ，即λ<.
注意到由λ<1可得λ<；
但反過來，由λ<不能得到λ<1，
故“λ<1”是“數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
3． 已知命題p：|x－2|<3是命題q：0
29、成立的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0,5] B．(－1,0)
C．(5，＋∞) D．(－1,5)
答案 A
解析 命題p：－1
30、－13，即m>2.
6． 下列四個結論中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要條件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件；
③若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b全不為零”的充要條件；
④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為零”的充要條件．
正確的是________．
答案 ①④
解析 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正確．
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能確定哪個角是直角，所以②不正確．
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全為零；
反之，由a，b不全為零可以推出a2＋b2≠0，
所以③不正確，④正確．
高考數(shù)學復習精品
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高考數(shù)學浙江理科一輪【第一章】集合與常用邏輯用語 第一章 1.2
