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第3章 三角函數(shù)、解三角形
第7節(jié) 正弦定理和余弦定理
考點(diǎn) 正、余弦定理及其應(yīng)用
1．（2013新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
解析：選D 本題主要考查三角函數(shù)的化簡，考查利用余弦定理解三解形以及方程思想．化簡23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2 A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bcco
2、s A，代入數(shù)據(jù)，解方程，得b＝5.
2．（2013山東，5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，則c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：選B 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分類討論思想．由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cos A＝，A＝30.
結(jié)合余弦定理得12＝()2＋c2－2c，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
當(dāng)c＝1時，△ABC為等腰三角形，A＝C＝30，B＝2A＝60，不滿足內(nèi)角和定理，故c＝2.
3．（2013遼寧，5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c
3、.若asin Bcos C＋csin B cos A＝b，且a＞b，則∠B＝( )
A. B.
C. D.
解析：選A 本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理，意在考查考生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況．邊換角后約去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.
4．（2013北京，5分）在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，則sin B＝( )
A. B.
C. D. 1
解析：選B 本題主要考查正弦定理，意在考查考生對正、余弦定理掌握的熟練程度，屬于容易題．
依題意，由＝，即＝，得sin B＝，選
4、B.
5．(2013陜西，5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝a sinA，則△ABC的形狀為( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
解析：本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式的逆用．依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，從而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝，故選B.
答案：B．
6．(2100湖南，5分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b
5、，c.若∠C＝120，c＝a，則( )
A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)
6、.
答案：B
8．（2012陜西，5分）在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，則b＝________.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋12－222＝4，所以b＝2.
答案：2
9．（2011新課標(biāo)全國，5分）△ABC中，B＝120，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為________．
解析：設(shè)BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120，
整理得：x2＋5x－24＝0，即x＝3.
因此S△ABC＝ABBCsinB＝35＝.
答案：
10．（2010江蘇，5分）在銳角△ABC中，角A、B、C
7、的對邊分別為a、b、c，若＋＝6cosC，則＋的值是________．
解析：取a＝b＝1，則cosC＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝，
∴c＝，
在如圖所示的等腰三角形ABC中，
可得tanA＝tanB＝，
又sinC＝，tanC＝2，
∴＋＝4.
另解：由＋＝6cosC得，＝6，即a2＋b2＝c2，
∴＋＝tanC(＋)＝＝＝4.
答案：4
11．（2013福建，12分）如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90，OP＝2，點(diǎn)M在線段PQ上．
(1)若OM＝，求PM的長；
(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON＝30，問：當(dāng)∠POM取何值時，△O
8、MN的面積最小？并求出面積的最小值．
解：本題主要考查解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
(1)在△OMP中，∠OPM＝45，OM＝，OP＝2，由余弦定理，得OM2＝OP2＋MP2－2OPMPcos 45，
得MP2－4MP＋3＝0，
解得MP＝1或MP＝3.
(2)設(shè)∠POM＝α，0≤α≤60，
在△OMP中，由正弦定理，得＝，
所以O(shè)M＝，
同理ON＝.
故S△OMN＝OMONsin ∠MON
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
因?yàn)?
9、≤α≤60，則30≤2α＋30≤150，所以當(dāng)α＝30時，sin(2α＋30)的最大值為1，此時△OMN的面積取到最小值．即∠POM＝30時，△OMN的面積的最小值為8－4.
12．（2013浙江，14分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asin B＝b.
(1)求角A的大??；
(2) 若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面積．
解：本題主要考查正、余弦定理、三角形面積公式及三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力．
(1)由2asin B＝b及正弦定理＝，得sin A＝.
因?yàn)锳是銳角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得
10、b2＋c2－bc＝36.
又b＋c＝8，所以bc＝.
由三角形面積公式S＝bcsin A，得
△ABC的面積為.
13．（2013天津，13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin的值．
解：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．
(1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.
由b2＝a2＋c2－
11、2accos B，cos B＝，可得b＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，從而得cos 2B＝2cos2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B＝.
所以sin＝sin 2Bcos －cos 2Bsin ＝.
14．（2012江西，12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C.
(1)求cos A；
(2)若a＝3，△ABC的面積為2，求b，c.
解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，
得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，
即cos(B＋C)＝－，
從
12、而cos A＝－cos(B＋C)＝.
(2)由于0
13、上述結(jié)果知sinC＝sin(A＋B)＝(＋)＝.
設(shè)邊BC上的高為h，則有h＝bsinC＝.
16．(2010遼寧，12分)在△ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大??；
(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．
解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，又A∈(0，π)，故A＝120.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.
因?yàn)?＜B＜90，0＜C＜90，故B＝C.
所以△ABC是等腰的鈍角三角形．
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