2002年全國Ⅱ高考數(shù)學(xué)試題(理)

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1、2002年普通高等數(shù)學(xué)招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅱ） 理科數(shù)學(xué) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 參考公式： 三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長． 球的體積公式：，其中表示球的半徑． 第Ⅰ卷（選擇題共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．圓的圓心到直線的距離是 A． B． C．1 D． 2．復(fù)數(shù)的值是 A． B． C． D．1 3．不等式的解集是 A． B． C． D．

2、4．在內(nèi)，使成立的的取值范圍是 A． B． C． D． 5．設(shè)集合，，則 A． B． C． D． 6．點(diǎn)到曲線（其中參數(shù)）上的點(diǎn)的最短距離為 A．0 B．1 C． D．2 7．一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的恰好與半球的體積相等，那么，這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是 A． B． C． D． 8．正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線與所成的角是 A．90 B．60 C．45 D．30 9．函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 A． B． C． D． x y O －1 1 x y O －1 1 x y O 1 1

3、 x y O 1 1 10．函數(shù)的圖像是 A． B． C． D． 11．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有 A．8種 B．12種 C．16種 D．20種 12．據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長7.2%．”如果“十五”期間（2001年－2005年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為 A．115000億元 B．120000億元 C．127000億元 D．135000億元 第Ⅱ卷（非選擇題共90分） 注意事

4、項(xiàng)：用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卡上． 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上． 13．函數(shù)在的最大值與最小值和為3，則＝ ． 14．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么＝ ． 15．的展開式中的系數(shù)是 ． 16．已知函數(shù)，那么＝ ． 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． A B E F C D M N 17．（本小題滿分12分）已知，，求，的值． 18．（本小題滿分12分）如

5、圖，正方形，的邊長都是1，而且平面，互相垂直．點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若． （1）求的長； （2）當(dāng)為何值時(shí)，的長最??； （3）當(dāng)長最小時(shí)，求面與面所成的二面角的大?。? 19．（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之差為，到軸，軸的距離之比為2，求的取值范圍． 20．（本小題滿分12分）某城市2001年末汽車保有量為30萬，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6％，并且每年新增汽車數(shù)量相同．為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？ 21．（本小題滿分12分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，． （1）討論的奇偶性；

6、 （2）求的最小值． 22．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足，． （1）當(dāng)時(shí)，求，，，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有 ①； ②． 數(shù)學(xué)試題參考答案 一、選擇題，本題考查基礎(chǔ)知識(shí)，基本概念和基本運(yùn)算能力 題號(hào) １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題．本題考查基礎(chǔ)知識(shí),基本概念和基本運(yùn)算技巧 13． 14． 15． 16． 三、解答題 17． 數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及

7、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說明： 一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則. 二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答末改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分. 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分. A卷選擇題答案： 一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.

8、 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分. 13．2 14．1 15．1 008 16． 三、解答題 17．本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能.滿分12分. 解：由倍角公式， ………………2分 由原式得 ………………8分

9、 ， ……………12分 18．本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和函數(shù)極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分12分. 解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得 MP∥NQ，且MP=NQ， 即MNQP是平行四邊形，∴ MN=PQ. ……………3分 由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1， ∴ AC=BF=， 即 . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），所以，當(dāng) 即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長

10、最小，最小值為……9分 （Ⅲ）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG， ∵ AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn) ∴ AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角， 又AG=BG=，所以，由余弦定理有 故所求二面角. ……………12分 19．本小題主要考查直線、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算、邏輯推理能力.滿分12分. 解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），依題設(shè)得=2， 即 ①………2分 因此，點(diǎn)P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，得

11、 因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2|m|的雙曲線上，故 ②…………6分 將①式代入②，并解得 ， ……………8分 解得. 即m的取值范圍為 ……………12分 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），依題設(shè)得，即 . ①…………2分 由|PM|－|PN|=2m，得 ②…………4分 由②式可得 所以，. ……………6分 由②式移項(xiàng)，兩邊平方整理得 將①式代入，整理得. ③…………8分 ③式右端大于0，. 綜上，得m滿足 即m

12、的取值范圍為 ……………12分 20．本小題主要考查為數(shù)列、數(shù)列的極限等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分12分. 解：設(shè)2001年末汽車保有量為b1萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，…，每年新增汽車x萬輛，則 ………………2分 對(duì)于n>1，有 ………………6分 當(dāng) ………………8分 當(dāng) 并且數(shù)列{bn}逐項(xiàng)增加，可以任意靠近. ……………10分 因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即. 則（萬輛）.綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛.………12分 21．本小題主要考查函

13、數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想和邏輯思維能力.滿分12分. 解：（Ⅰ）當(dāng)為偶函數(shù). ………………2分 當(dāng) . 此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). ………………4分 （Ⅱ）（i）當(dāng) 若上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)上的最小值為 若，則函數(shù)上的最小值為………7分 （ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù) 若 若 ……………10分 綜上，當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) ……………12分 22．本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識(shí)，考查猜想、歸納、推理以及分析問題和解決問題的能力.滿分14分. 解：（Ⅰ）由 由由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：………4分 （Ⅱ）（i）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)，不等式成立. ………………6分 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，那么 也就是說，當(dāng) 根據(jù)①和②，對(duì)于所有 ……………10分 （ii）由（i），對(duì) ……………12分 于是 ……14分 第 9 頁 (共 9 頁)d4f9cef6509bfde98bfc5524cfcfe11a.pdf