數(shù)學(xué)人教A版必修4 第三章　三角恒等變換 單元測試2 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 (時(shí)間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－cos 10° 解析：選A.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0. 2．已知sin α＝，cos α＝，則tan 等于(　　

2、) A．2－　 B．2＋ C.－2 D．±(－2) 解析：選C.因?yàn)閟in α＝＞0，cos α＝＞0， 所以α的終邊落在第一象限，的終邊落在第一、三象限． 所以tan ＞0， 故tan ＝＝＝－2. 3．已知sin ＝，cos ＝－，則角α的終邊所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C.sin α＝2sin cos ＝－＜0，cos α＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－＜0. ∴α為第三象限角． 4．已知θ是銳角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(　　) A.

3、B. C. D. 解析：選A.因?yàn)閟in θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ) ＝(cos sin θ＋sin cos θ)＝sin(θ＋)， 又θ是銳角，則＜θ＋＜， 所以1＜sin(θ＋)≤，故選A. 5．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 解析：選B.∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin(2x＋)， ∴f(x)＝a·b的最小正周期是π. 6．已知s

4、in(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β的終邊在第三象限，則cos 的值等于(　　) A．± B．± C．－ D．－ 解析：選A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝， 即sin β＝－. ∵β在第三象限，所以cos β＝－， ∴cos ＝± ＝±＝±. 7.＝(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：選C.原式＝＝＝ ＝＝. 8．如果α∈(，π)，且sin α＝，則sin(α＋)－cos(π－α)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B.si

5、n(α＋)－cos(π－α)＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α. ∵sin α＝，α∈(，π)，∴cos α＝－. ∴sin α＋cos α＝×－×＝－. 9．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形 解析：選B.∵cos A＝，∴sin A＝. 同理sin B＝. ∵cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B ＝－×＋×＝－＜0， ∴C為鈍角． 10．若0＜α＜，－＜β＜0

6、，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選C.∵0＜α＜，－＜β＜0， ∴＜＋α＜，＜－＜， ∴sin(＋α)＝ ＝ ，sin(－)＝. ∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－) ＝，故選C. 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．已知α∈(0，)，sin α＝，則＋tan 2α的值為________． 解析：∵α∈(0，)，sin α＝，∴cos α＝. ∴＋tan 2α＝ ＝ ＝＝＝7. 答案

7、：7 12．若sin －2cos ＝0，則tan θ＝________. 解析：由sin －2cos ＝0，得tan ＝2. ∴tan θ＝＝＝－. 答案：－ 13．已知sin(x＋)＝，sin(x－)＝，則tan x＝________. 解析：由sin(x＋)＝，sin(x－)＝，得sin x＋cos x＝，sin x－cos x＝， 解得sin x＝，cos x＝－， 所以tan x＝＝－7. 答案：－7 14．下列命題： ①若f(x)＝2cos2－1，則f(x＋π)＝f(x)對x∈R恒成立； ②要得到函數(shù)y＝sin(－)的圖象，只需將y＝sin 的圖象向右平移個(gè)單

8、位； ③若銳角α，β滿足cos α＞sin β，則α＋β＜. 其中真命題的序號是________． 解析：由于f(x)＝2cos2－1＝cos x，其最小正周期為T＝2π，即f(x＋2π)＝f(x)對x∈R恒成立，故①錯(cuò)；由于y＝sin(－)＝sin(x－)，所以要得到函數(shù)y＝sin(－)的圖象，只需將y＝sin 的圖象向右平移個(gè)單位，故②錯(cuò)；若α，β為銳角，則－α，β為銳角，而α，β滿足cos α＞sin β，即sin(－α)＞sin β，得－α＞β，所以α＋β＜，故③對． 答案：③ 15．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin

9、 C，sin B－cos B)．若a·b＝0，則A＝________. 解析：由已知a·b＝0，得(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝0. 化簡，得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，即sin A＋cos A＝0，∴tan A＝－1. 又A∈(0，π)，∴A＝. 答案： 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．已知函數(shù)f(x)＝. (1)求f(x)的定義域； (2)若角α在第一象限，且cos α＝，求f(α)． 解：(1)由sin(x＋)≠0，得

10、x＋≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z}． (2)由已知條件得sin α＝＝ ＝. 從而f(α)＝ ＝ ＝ ＝ ＝2(cos α＋sin α)＝. 17．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中x∈R，A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的部分圖象如圖所示． (1)求A，ω，φ的值； (2)已知在函數(shù)f(x)的圖象上的三點(diǎn)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為－1,1,3，求sin∠MNP的值． 解：(1)由題圖可知，A＝1， 最小正周期T＝4×2＝8，所以T＝＝8，ω＝. 又f(1)＝sin(＋φ)＝1，且－＜φ＜， 所以＋φ＝，φ＝.

11、 (2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)， 所以f(－1)＝0，f(1)＝1，f(3)＝0， 所以M(－1,0)，N(1,1)，P(3,0)． 設(shè)Q(1,0)，連接MN，NP. 在直角三角形MNQ中，設(shè)∠MNQ＝α， 則sin α＝，cos α＝，∠MNP＝2α， 所以sin∠MNP＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. 18．已知f(x)＝2cos2 ＋sin ωx＋a的圖象上相鄰兩對稱軸的距離為. (1)若x∈R，求f(x)的遞增區(qū)間； (2)若x∈[0，]時(shí)，f(x)的最大值為4，求a的值． 解：由f(x)＝2cos2＋sin

12、ωx＋a ＝sin ωx＋cos ωx＋a＋1 ＝2sin(ωx＋)＋a＋1. 因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰對稱軸的距離為， 故＝?T＝π?ω＝＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1. (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． (2)若x∈[0，]，則≤2x＋≤， 所以－≤sin(2x＋)≤1， 所以f(x)max＝2＋a＋1＝4，所以a＝1. 19．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1)． (1)若a⊥b，求的值； (2)若|a－b|＝2，

13、θ∈(0，)，求sin(θ＋)的值． 解：(1)法一：由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ， 所以＝＝. 法二：由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ， 所以tan θ＝2， 所以＝＝. (2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a－b|＝ ＝＝2. 即1－2cos θ＋sin θ＝0，① 又cos2θ＋sin2θ＝1，② 由①②且θ∈(0，)可解得， 所以sin(θ＋)＝(sin θ＋cos θ)＝×(＋)＝. 20．已知函數(shù)

14、f(x)＝sin(3x＋)． (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值． 解：(1)由－＋2kπ≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 －≤x≤＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－，＋](k∈Z)． (2)由f()＝cos(α＋)cos 2α， 得sin(α＋)＝cos(α＋)cos 2α. 因?yàn)閏os 2α＝sin(2α＋)＝sin[2(α＋)] ＝2sin(α＋)cos(α＋)， 所以sin(α＋)＝cos2(α＋)sin(α＋)． 又α是第二象限角，則得sin(α＋)＝0或cos2(α＋)＝. ①由sin(α＋)＝0，得α＋＝2kπ＋π?α＝2kπ＋π(k∈Z)， 所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－. ②由cos2(α＋)＝?cos(α＋)＝－ ?(cos α－sin α)＝－， 所以cos α－sin α＝－. 綜上可知cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.