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1、
高考大題標(biāo)準(zhǔn)練(四)
滿分75分，實(shí)戰(zhàn)模擬，60分鐘拿下高考客觀題滿分！ 姓名：________ 班級(jí)：________
1．(20xx·山東卷)設(shè)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g的值．
解：(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x
2、－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2sin＋－1的圖象，
再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，
得到y(tǒng)＝2sin x＋－1的圖象，
即g(x)＝2sin x＋－1，
所以g＝2sin＋－1＝.
2．(20xx·湖北卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1
3、，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由題意有，
即
解得或
故或.
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
3．某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
賠付金額(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
車輛數(shù)(輛)
500
4、
130
100
150
120
(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；
(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率．
解：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2
5、)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，知樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1 000＝100輛，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24輛，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的概率為＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.
4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求證：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱錐E－ABC的體積．
證明：(1)在三棱柱AB
6、C－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
所以BB1⊥AB.
又因?yàn)锳B⊥BC，BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)證明：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四邊形FGEC1為平行四邊形．
所以C1F∥EG.
又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱
7、錐E－ABC的體積
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
5．(20xx·四川卷)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
解：(1)由已知，a＝2b，
又橢圓＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P，
故＋＝1，解得b2＝1.
所以橢圓E的方程是＋y2＝1.
8、
(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程組得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判別式為Δ＝4(2－m2)．
由Δ＞0，即2－m2＞0，解得－＜m＜.
由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM的方程為y＝－x.
由方程組
得C，D.
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2
＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝[4m2－4(2m2－2)]
＝(2－
9、m2)，
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
6．(20xx·山東卷)設(shè)f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
所以g′(x)＝－2a＝.
當(dāng)a≤0，x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0，x∈時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈時(shí)，函數(shù)g(x
10、)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)；
當(dāng)a>0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．
②當(dāng)0<a<時(shí)，>1，由(1)知f′(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．
③當(dāng)a＝時(shí)，＝1，f′(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意．
④當(dāng)a>時(shí)，0<<1，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．
所以f(x)在x＝1處取極大值，符合題意．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>.
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