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1、四、數(shù)列
小題強(qiáng)化練，練就速度和技能，掌握高考得分點(diǎn)！ 姓名：________ 班級(jí)：________
一、選擇題(本大題共10小題，每小5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知an＝，設(shè)am為數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則m＝( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：作出函數(shù)an＝1＋，n∈N*的圖象可得a8是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，故m＝8.
答案：B
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝( )
A．(n＋1)3
2、B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(2n＋1)2－1
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，當(dāng)n≥2時(shí)，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，即＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3，經(jīng)驗(yàn)證n＝1時(shí)也符合，所以an＝(n＋1)3.
答案：A
3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝＋，數(shù)列{an}滿足an＝f2(n)－f(n)，若其前m(m∈N*)項(xiàng)和為－，則m的值為( )
A．16 B．17
3、 C．18 D．19
解析：由題意[f(x＋1)－]2＝f(x)－f2(x)，即f2(x＋1)－f(x＋1)＋＝f(x)－f2(x)，所以－≤f2(n)－f(n)＝an≤0，所以an＋1＋＝－an，即an＋1＋an＝－.若m為偶數(shù)，則其前m項(xiàng)和為－×＝－，解得m＝?N*，所以m不可能是偶數(shù)，排除A、C；若m＝17，則a17＝S17－S16＝－＋×8＝－∈，符合題意；若m＝19，則a19＝S19－S18＝－＋×9＝＞0，不符合題意，故排除D，選擇B.
答案：B
4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝a3·a5，則a7＝( )
A．4 B.
4、 C．8 D.
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a＝a3·a5，又a4＝a3·a5，所以a＝a4，解得a4＝1(a4＝0舍去)，又a1＝8，所以8q3＝1，得到q＝，所以a7＝8×6＝，選D.
答案：D
5．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，其前n項(xiàng)和Sn＝，則雙曲線－＝1的漸近線方程為( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：an＝＝－，則Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－，由Sn＝＝1－，可得n＝9，則雙曲線方程為－＝1，其漸近線方程為y＝±x＝
5、7;x＝±x，選C.
答案：C
6．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝6，則S5＝( )
A．5 B．7 C．10 D．15
解析：由a1＋a3＋a5＝6可得3a3＝6，故a3＝2，S5＝＝＝5a3＝10，選C.
答案：C
7．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a＝2Sn＋n＋4，且a2－1，a3，a7恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則a1＝( )
A. B．1 C．2 D．4
解析：因?yàn)閍＝2Sn＋n＋4，所以a＝2Sn－1＋n－1＋4(n≥2)，兩式相減得a－a＝2an＋1，所以a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，
6、故an＋1－an＝1，又a＝(a2－1)a7，所以(a2＋1)2＝(a2－1)(a2＋5)，解得a2＝3，又a＝2a1＋1＋4，得到a1＝2，選C.
答案：C
8．已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝n＋ B．a(chǎn)n＝n－
C．a(chǎn)n＝n＋ D．a(chǎn)n＝n＋
解析：依題意可得an＋1＝，則有an＋1＝an＋，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則an＝1＋(n－1)×＝n＋，故選A.
答案：A
9．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a3＝8a2，且a1與a2的等差中項(xiàng)為12，
7、則S5的值為( )
A．496 B．33 C．31 D.
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a3＝a，又a1a3＝8a2，故a＝8a2，解得a2＝8(a2＝0舍去)，因?yàn)閍1與a2的等差中項(xiàng)為12，所以a1＋a2＝24，故a1＝16，所以公比q＝，故S5＝＝＝31，故選C.
答案：C
10．已知an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，n∈N*，則在S1，S2，…，S2016中，值為正數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A．2 016 B．2 015
C．1 003 D．1 008
解析：依題意知，a1≥0，a2≥0，…，a50≥0，a51≤0，a52≤0，…，a100≤0，考慮到y(tǒng)＝的
8、遞減性及正弦函數(shù)的周期性，有a1＋a51＞0，a2＋a52＞0，…，故S1，S2，…，S100均為正數(shù)，以此類推，可知S1，S2，…，S2016均為正數(shù)，故選A.
答案：A
二、填空題(本大題共5小題，每小5分，共25分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
11．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝0，若對(duì)任意的正整數(shù)n，m(n＞m)，有a－a＝an－man＋m，則a2 015＝________.
解析：令n＝2，m＝1，則a－a＝a1a3，得a3＝－1；令n＝3，m＝2，則a－a＝a1a5，得a5＝1；令n＝5，m＝2，則a－a＝a3a7，得a7＝－1，所以猜想當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，{an}為1
9、，－1,1，－1，…，所以a2 015＝－1.
答案：－1
12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a4＋a9＝24，則·的最大值為________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝24，即a1＋4d＝8，所以＝＝a1＋d＝8－4d＋d，則＝8－4d＋d＝8－，＝8－4d＋d＝8＋，·＝＝64－≤64，當(dāng)且僅當(dāng)d＝0時(shí)取等號(hào)，所以·的最大值為64.
答案：64
13．設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，則＝________.
解析：若a4，a3，a5成等差
10、數(shù)列，則有2a3＝a4＋a5，即2a1q2＝a1q3＋a1q4，因?yàn)閝≠1，a1≠0，所以2＝q＋q2，解得q＝－2，則＝＝1＋q2＝1＋(－2)2＝5.
答案：5
14．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝________.
解析：因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列，b3＝－2，b10＝12，故b10＝－2＋7d＝12，解得d＝2，b3＝b1＋2×2＝－2，解得b1＝－6，故bn＝－6＋(n－1)×2＝2n－8，所以an＋1－an＝2n－8，an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an
11、－an－1)＝(2×1－8)＋(2×2－8)＋…＋[2×(n－1)－8]＝n(n－1)－8(n－1)＝n2－9n＋8(n≥2)，所以an＝n2－9n＋8＋3＝n2－9n＋11，故a8＝82－9×8＋11＝3.
答案：3
15．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且各項(xiàng)均不為0，Tn為前n項(xiàng)和，T2n－1＝a，n∈N*，若不等式＋1≥對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則t的取值范圍為__________________．
解析：因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d，Tn＝na1＋d，所以T2n－1＝(2n－1)a1＋d＝(2n－1)[a1＋(n－1)d]＝(2n－1)an，又
12、T2n－1＝a，所以(2n－1)an＝a，又an≠0，故an＝2n－1，因?yàn)椋?≥對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，即＋1≥.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有(2n＋1)≥－t對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則由(2n＋1)≥－t可得＋2n＋9≥－t，設(shè)f(x)＝＋2x，f′(x)＝2－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí) ，f(x)取得最小值，所以當(dāng)n＝1或2時(shí)，＋2n＋9取得最小值，即15≥－t，所以t≥－15；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 有(2n＋1)≥t對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則由(2n＋1)≥t可得2n－－7≥t，設(shè)g(x)＝2x－，g′(x)＝＋2＞0，所以當(dāng)n＝1時(shí)，2n－－7取得最小值，即t≤－9.綜上可得－15≤t≤－9.
答案：－15≤t≤－9
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