《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 正態(tài)分布學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 正態(tài)分布學(xué)案 理(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第六十七課時(shí) 正態(tài)分布
課前預(yù)習(xí)案
考綱要求
1.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念,掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性;
2.能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率.
基礎(chǔ)知識(shí)梳理
1. 正態(tài)曲線
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線,其函數(shù)表達(dá)式為f(x)=e-,x∈R(其中μ,σ為參數(shù),且σ>0,-∞<μ<+∞).
2. 正態(tài)曲線的性質(zhì)
(1)曲線在x軸的 ,并且關(guān)于直線 對(duì)稱.
(2)曲線在 時(shí)處于最高點(diǎn),并由此處向左右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低,呈現(xiàn)“中間高,兩邊低”的形狀.
(3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定,σ越
2、 ,曲線越“矮胖”;σ越 ,曲線越“高瘦”.
3. 正態(tài)變量在三個(gè)特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值
(1)P(μ-σ2)=
3、______________________________.
2. 若X~N(0,1),且P(X<1.54)=0.938 2,則P(|X|<1.54)=________.
3. 設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=e-,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 ( )
A.10與8 B.10與2
C.8與10 D.2與10
4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X
4、)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)等于( )
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
第六十七課時(shí) 正態(tài)分布(課堂探究案)
典型例題
考點(diǎn)1 正態(tài)曲線的性質(zhì)
【典例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為.
(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式;
(2)求正態(tài)總體在(-4,4)的概率.
【變式1】設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函
數(shù)圖象如圖所示,則有 ( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1
5、<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
考點(diǎn)2 服從正態(tài)分布的概率計(jì)算
【典例2】某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布,其密度曲線如圖所示.
(1)求總體隨機(jī)變量的期望和方差;
(2)求成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率.
【變式2】(1)在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2) (σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(2,+∞)上取值的概率為________.
(2)若X~N,則X落在(-∞,-1]∪[1,+∞)內(nèi)的概率為________.
考點(diǎn)3 正態(tài)分布的應(yīng)用
【典例3】已知電燈泡的使用壽命
6、X~N(1 500,1002)(單位:h).
(1)購買一個(gè)燈泡,求它的使用壽命不小于1 400小時(shí)的概率;
(2)這種燈泡中,使用壽命最長的占0.15%,這部分燈泡的使用壽命至少為多少小時(shí)?
【變式3】在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布,即ξ~N(100,100),已知滿分為150分.
(1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,120)內(nèi)的概率;
(2)若這次考試共有2 000名考生參加,試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù).
當(dāng)堂檢測(cè)
1. 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x)= (x∈R,i=1,2,3)
的圖象如圖所示,則 ( )
A.μ
7、1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
2. 設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,σ2),且P(-2≤X≤0)=0.4,則P(0≤X≤2)的值是 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
3. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,則P(X>4)等于 ( )
A.0.158 8 B.0.158 5 C.0.158 6 D.0.158 7
4. 已知隨機(jī)變量ξ~N(3,22),若ξ=2
8、η+3,則D(η)等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
課后拓展案
A組全員必做題
1.某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為f(x)=e- (x∈R),則下列命題不正確的是 ( )
A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分
B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同
C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同
D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10
2. 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)的概率是,則μ等于
9、 ( )
A.1 B.2 C.4 D.不能確定
3. 隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),已知P(ξ<0)=0.3,則P(ξ<2)=________.
4.某中學(xué)2 000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(120,100),則此校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的考生人數(shù)約為________.(注:正態(tài)總體N(μ,σ2)在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率約為0.9544).
5.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________.
6.商場(chǎng)經(jīng)營的
10、某種包裝大米的質(zhì)量(單位:kg)服從正態(tài)分布X~N(10,0.12),任選一袋這種大米,質(zhì)量在9.8~10.2 kg的概率是________.
B組提高選做題
1.汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響,各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量,某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況,共抽查了1 200名車主,據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升,并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8,σ2),已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7,那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛.
2.工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N,問在一次正常的試驗(yàn)中,取1 000個(gè)零
11、件時(shí),不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)?
3.在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有13人.
求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人?
參考答案
預(yù)習(xí)自測(cè)
1.0.1 解析 ∵P(0≤ξ≤2)=P(-2≤ξ≤0)=0.4,
∴P(ξ>2)=(1-20.4)=0.1.
2. 0.876 4 解析 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知
P(X≥1.54)=P(X≤-1.54).
又P(X≥1.54)=1-P(X<1.54)=1-0.938 2=0.061 8
∴P(X≤-1.54)=
12、0.061 8,
∴P(|X|<1.54)=P(-1.544)=0.2,
由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,
∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6.
∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.
典型例題
【典例1】
13、解 (1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即μ=0.由=,得σ=4,
故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是
f(x)=,x∈R.
(2)P(-4
14、得σ=4.
∴f(x)=,x∈[0,100],
∴總體隨機(jī)變量的期望是μ=60,方差是σ2=16.
(2)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率為
P(μ-2σ2)=[1-2P(0<ξ<1)]=(1-0.8)=0.1.
(2)【答案】0.0026 【解析】∵μ=0,σ=,
∴P(X≤-1或x≥1)
=1-P(-1
15、
(2)設(shè)這部分燈泡的使用壽命至少為x0小時(shí),
則x0>1 500,則P(X≥x0)=0.15%.
P(X-1 500≥x0-1 500)==0.15%,
P(|X-1 500|
16、P(ξ>110)=(1-0.6826)=0.158 7,
∴P(ξ≥90)=0.6826+0.158 7=0.841 3.
∴及格人數(shù)為2 0000.841 3≈1 683(人).
當(dāng)堂檢測(cè)
1.D解析 正態(tài)分布密度函數(shù)f2(x)和f3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱,所以其平均數(shù)相同,故μ2=μ3,又f2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比f1(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大,故有μ1<μ2=μ3.又σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“瘦高”,由圖象可知,正態(tài)分布密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的圖象一樣“瘦高”,φ3(x)明顯“矮胖”,從而可知σ1=σ2<σ3.
2. B解析 正態(tài)曲線關(guān)于直
17、線x=0對(duì)稱,∵P(-2≤X≤0)=0.4,∴P(0≤X≤2)=0.4.
3.D解析 由于X服從正態(tài)分布N(3,1),
故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=3.所以P(X>4)=P(X<2),
故P(X>4)==0.158 7.
4. B解析 由ξ=2η+3,得D(ξ)=4D(η),而D(ξ)=σ2=4,
∴D(η)=1.
A組全員必做題
1.B解析 由密度函數(shù)知,均值(期望)μ=80,標(biāo)準(zhǔn)差σ=10,又曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱,故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同,所以B是錯(cuò)誤的.
2.C解析 根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)時(shí),Δ=16-4ξ<
18、0,即ξ>4,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,當(dāng)函數(shù)f(x)=x2+4x+ξ沒有零點(diǎn)的概率是時(shí),μ=4.
3. 0.7解析 由題意可知,正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以P(ξ<2)=P(ξ<0)+P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2),
又P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.2,所以P(ξ<2)=0.7.
4.46解析 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是10,故在區(qū)間(120-20,120+20)之外的概率是1-0.9544,數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的概率是=0.0228,故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為2 0000.022846≈46.
5.0.8解析 ∵ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),
∴ξ在(0,1)與(
19、1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.
∴ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8.
6.0.9544解析 P(9.89)=0.15,故耗油量大于9升的汽車大約有1 2000.15=180(輛).
2.解 ∵X~N,∴μ=4,σ=.
∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為
P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3