專題一 第3講 復(fù)數(shù)、框圖、合情推理 專題升級訓(xùn)練含答案解析

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1、專題升級訓(xùn)練 　復(fù)數(shù)、框圖、合情推理 (時間:60分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分) 1.(2013湖北,理1)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.閱讀下面的程序框圖,若輸出s的值為-7,則判斷框內(nèi)可填寫(　　) A.i<3? B.i<4? C.i<5? D.i<6? 3.(2013福建,文8)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序.如果輸入某個正整數(shù)n后,輸出的S∈(10,20),那么n的值為(　　) A.3 B.4 C.5 D

2、.6 4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是a+bi(a,b∈R),i是虛數(shù)單位,則ab的值是(　　) A.-7 B.-6 C.7 D.6 5.觀察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,則52 014的末四位數(shù)字為(　　) A.3125 B.5625[來源:] C.0625 D.8125 6.如圖所示的三角形數(shù)陣是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2),其余每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如,…,則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為(　　) A. B. C. D. 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分) 7.下表是某工廠10

3、個車間2013年2月份產(chǎn)量的統(tǒng)計表,1到10車間的產(chǎn)量依次記為A1,A2,…,A10(如:A2表示2號車間的產(chǎn)量為900件).如圖是統(tǒng)計表中產(chǎn)量在一定范圍內(nèi)車間個數(shù)的一個算法流程圖.那么算法流程圖輸出的結(jié)果是　　　　　. 車間 1 2 3 4 5 產(chǎn)量/件 1100 900 950 850 1500 車間 6 7 8 9 10 產(chǎn)量/件 810 970 900 830 1300 8.兩點等分單位圓時,有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin(π+α)=0;三點等分單位圓時,有相應(yīng)正確關(guān)系為sinα+sin+sin=0.由此可以推知:四點等分單位

4、圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為　　　　　. 9.(2013北京東城模擬,14)數(shù)列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀,其中每一行比上一行增加兩項,若an=an(a≠0),則位于第10行的第8列的項是　　　　　,a2 014在圖中位于　　　　　.(填第幾行的第幾列) 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10.(本小題滿分15分)已知x,y為共軛復(fù)數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y. 11.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=. (1)求證:f(x)是奇函數(shù); (2)分別計算f(4)-5f(2)g(2),f

5、(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)對所有不等于0的實數(shù)x都成立的一個等式,并證明. 12.(本小題滿分16分)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2,n=1,2,3,…. (1)求a3,a4,并求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,Sn=b1+b2+…+bn,證明≤Sn<2. ## 1.D　解析:∵z==i(1-i)=1+i, ∴復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)=1-i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,-1)位于第四象限. 2.D　解析:i=1,s=2; s=2-1=1,i=1+2=3; s=1-3=-2,i=3+2=5; s=-2

6、-5=-7,i=5+2=7.[來源:] 因輸出s的值為-7,循環(huán)終止,故判斷框內(nèi)應(yīng)填“i<6?”,故選D. 3.B　解析:若n=3,則輸出S=7;若n=4,則輸出S=15,符合題意.故選B. 4.C　解析:設(shè)z==7-i, ∴=7+i=a+bi,得a=7,b=1, ∴ab=7. 5.B　解析:由觀察易知55的末四位數(shù)字為3125,56的末四位數(shù)字為5625,57的末四位數(shù)字為8125,58的末四位數(shù)字為0625,59的末四位數(shù)字為3125,故周期T=4.又由于2 014=5034+2,因此52 014的末四位數(shù)字是5625.[來源:] 6.A　解析:由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均

7、為(n≥2)”可知,第7行第1個數(shù)為,由“其余每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個數(shù)為,同理,第7行第3個數(shù)為,第7行第4個數(shù)為. 7.5　解析:該算法流程圖輸出的是月產(chǎn)量大于900件的車間的個數(shù),由月產(chǎn)量統(tǒng)計表可知,n=5. 8.sinα+sin+sin(α+π)+sin=0　解析:由類比推理可知,四點等分單位圓時,α與α+π的終邊互為反向延長線,α+與α+的終邊互為反向延長線,如圖. [來源:] 9.a89　第45行的第78列　解析:由題意知前10行有1+3+5+…+19=100(項),前9行有1+3+5+…+17=81(項). 故第10行第8列對應(yīng)的項應(yīng)為數(shù)列{

8、an}的第89項,故為a89. 此三角形陣前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n2(項), 又1 936=442<2 014<452=2 025, ∴a2 014應(yīng)位于第45行第78列. 10.解:設(shè)x=a+bi(a,b∈R),則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, 根據(jù)復(fù)數(shù)相等得 解得故所求復(fù)數(shù)為 11.(1)證明:f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞), 又f(-x)==-=-f(x), 故f(x)是奇函數(shù). (2)解:計算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,于是

9、猜測f(x2)-5f(x)g(x)=0(x∈R且x≠0). 證明:f(x2)-5f(x)g(x)=-5=0. 12.解:(1)因為a1=1,a2=2, 所以a3=a1+sin2 =a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4. 一般地,當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時, a2k+1=a2k-1+sin2=a2k-1+1, 即a2k+1-a2k-1=1. 所以數(shù)列{a2k-1}是首項為1、公差為1的等差數(shù)列, 因此a2k-1=k.[來源:] 當(dāng)n=2k時,a2k+2=a2k+sin2=2a2k. 所以數(shù)列{a2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,因此a2k=2k. 故數(shù)列{an}的通項公式為an= (2)由(1)知,bn=, Sn=+…+,① Sn=+…+,② ①-②得,Sn=+…+ ==1-. 所以Sn=2-=2-<2. 又Sn+1-Sn=>0, 所以Sn+1>Sn,即{Sn}是遞增數(shù)列. 故≤Sn<2.