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1、課時(shí)鞏固過關(guān)練(四) 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、選擇題
1．(2015·北京高考)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}
解析：如圖所示，把函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝log2(x＋1)的圖象，x＝1時(shí)兩圖象相交，則不等式的解集為{x|－1<x≤1}，故選C.
答案：C
2．(2016·山東日照一中期中)函數(shù)f(x)＝sinx
2、＋cos2x的圖象為( )
解析：由于函數(shù)f(x)＝sinx＋cos2x不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故它的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A、D.再根據(jù)當(dāng)x＝±π時(shí)，函數(shù)的值等于1，故排除C，故選B.
答案：B
3．(2016·福建三明一中月考)函數(shù)y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的圖象可能是下列中的( )
解析：因?yàn)閒(－x)＝＝＝f(x)，所以函數(shù)y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)A，因?yàn)閤>sinx在上恒成立，即>1在上恒成立，故排除選項(xiàng)B、D，故選C.
答案：C
4．(2016&#
3、183;河北衡水中學(xué)一調(diào))已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝＋x3
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝＋x3
解析：由圖可知，函數(shù)的漸近線為x＝，則函數(shù)解析式中x≠，則排除C，D，又函數(shù)在，上單調(diào)遞減，而函數(shù)y＝在，上單調(diào)遞減，y＝－x3在R上單調(diào)遞減，則f(x)＝－x3在，上單調(diào)遞減，選A.
答案：A
5．(2016·安徽安慶涼亭中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝x2－，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖象為( )
解析：f(x)＝x2－＝
當(dāng)x<0時(shí)，
f ′(x)＝2x－＝.令g(x)＝
4、2x3－1＋ln(－x)，由g′(x)＝6x2＋＝＝0，得x＝－，當(dāng)x∈時(shí)，
g′(x)>0，當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)<0.所以g(x)有極大值為g＝2×3－1＋ln＝－－ln6<0.又x2>0，所以f ′(x)的極大值小于0.所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f ′(x)＝2x－＝，令h(x)＝2x3－1＋lnx，h′(x)＝6x2＋>0.所以h(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，而h(1)＝1>0，h＝－－ln2<0.又x2>0，所以函數(shù)f ′(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)x0，則函數(shù)f ′(x)在(0，x0)
5、上，有f ′(x)<f ′(x0)＝0，f ′(x)在(x0，＋∞)上有f ′(x)>f ′(x0)＝0，f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)f(x)的圖象為B中的形狀．故選B.
答案：B
二、填空題
6．(2016·江蘇徐州模擬)已知直線y＝a與函數(shù)f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為__________．
解析：由題意知A(log2a，a)，B，
∴A，B之間的距離|AB|＝|xA－xB|＝log23.
答案：log23
7．(2016·安徽浮山中學(xué)
6、一模)若函數(shù)f(x)＝的圖象如下圖，則m的取值范圍是__________．
解析：∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，∴x2＋m恒不等于零，由圖象知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，∴m>0,2－m>0?m<2，又在(0，＋∞)上，函數(shù)f(x)在x＝x0(x0>1)處取得最大值，而f(x)＝≤，∴x0＝>1?m>1.綜上，1<m<2.
答案：(1,2)
8．(2016·天津期中)已知函數(shù)f(x)＝若存在實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中0<a<b<c<d，則abcd的取值范圍是_
7、_________．
解析：函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示：若a，b，c，d互不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，又a<b<c<d，則log2a＝－log2b，c∈(2,4)，d∈(6,8)，c＋d＝10，則6<10－c<8，解得2<c<4，又cd＝c(10－c)＝－(c－5)2＋25，則cd在(2,4)上單調(diào)遞增，則16<cd<24.故ab＝1，cd∈(16,24)，故abcd∈(16,24)．
答案：(16,24)
9．(2016·上海華師大二附期中)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x∈[－π，π])的最大值為M，最小
8、值為m，則M＋m＝__________.
解析：f(x)＝＝2＋，
令g(x)＝(x∈[－π，π])，
則g(－x)＝－g(x)，∴函數(shù)g(x)是奇函數(shù)．
∴g(x)max＋g(x)min＝0.∴M＋m＝4＋g(x)max＋g(x)min＝4.故答案為4.
答案：4
10．(2014·安徽高考)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝__________.
解析：由題意，f(x＋4)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，則f＋f＝f＋f
＝f＋f＝f＋f
＝f＋f＝－f－f
＝－×－sinπ＝－＋＝.
答
9、案：
三、解答題
11．(2016·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
(1)求t的值；
(2)若f(1)>0，求使不等式f(kx－x2)＋f(x－1)<0對(duì)一切x∈R恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，是否存在正數(shù)m(m≠1)，使函數(shù)g(x)＝logm[a2x＋a－2x－mf(x)]在[1，log23]上的最大值為0？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．∴f(0)＝0，∴t＝2.
(2)由(1)得f(x)＝ax－a－x，由f(1)>0
10、得a－>0，又a>0，∴a>1，由f(kx－x2)＋f(x－1)<0得f(kx－x2)<－f(x－1)，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(kx－x2)<f(1－x)．∵a>1，∴f(x)＝ax－a－x為R上的增函數(shù)，∴kx－x2<1－x對(duì)一切x∈R恒成立，即x2－(k＋1)x＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，故Δ＝(k＋1)2－4<0，解得－3<k<1，即k的取值范圍為(－3,1)．
(3)假設(shè)存在正數(shù)m(m≠1)符合題意，由f(x)過點(diǎn)可得a＝2，由a＝2得g(x)＝logm[a2x＋a－2x－mf(x)]＝logm[22x＋2－2
11、x－m(2x－2－x)]＝logm[(2x－2－x)2－m(2x－2－x)＋2]，設(shè)s＝2x－2－x，則(2x－2－x)2－m(2x－2－x)＋2＝s2－ms＋2.∵函數(shù)g(x)＝logm[a2x＋a－2x－mf(x)]在[1，log23]上的最大值為0，
∴(ⅰ)若0<m<1，則函數(shù)h(x)＝s2－ms＋2在上有最小值為1，∵對(duì)稱軸為直線s＝<，∴h(s)min＝h＝－m＝1?m＝，不合題意；
(ⅱ)若m>1，則函數(shù)h(s)＝s2－ms＋2>0，在上恒成立，且最大值為1，最小值大于0.①
??m＝，
又此時(shí)＝∈，又h(s)min＝h<0，故g(x)無(wú)意義，所以m＝應(yīng)舍去；②?
?m無(wú)解．
綜上所述，不存在正數(shù)m(m≠1)，使函數(shù)g(x)＝logm[a2x＋a－2x－mf(x)]在[1，log23]上的最大值為0.
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