【贏在高考】2013高考數學大一輪復習5.8正弦定理、余弦定理的應用配套練習蘇教版

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1、【贏在高考】2013高考數學大一輪復習5.8正弦定理、余弦定理的應用 配套練習蘇教版 1.(2012屆廣東I 摸底）△ ABC中,A、 B、C所對的邊長分別為a、 c,且 a =c=2.AB BC = —2.則b= 8 二22 cos(二-B)=-4cosB=-2, cos B =— 2 - B=60 . b=a=2. 2 .線段A的卜有一點C ./ABC =60 0 加 200 Irn： 汽車以80 km/h的速度由A向B亍駛，同時摩 托車以50 km/h的速度由B向。亍駛，則運動開始 h 后，兩車的距離最小. 【答案】70 43 【解析】如圖所

2、示，設t h后，汽車由A亍駛到D,摩托車由B亍駛到E, 則 期二80LnBE=50L.因為AB=200，所以BD=200-80t,問題就是求DEM小時t的值. 由余弦定理，得 DE2 =BD2+BE2 — 2BD BE cos60 = (200 -80t)2 2 500t2 -(200 -80t) 50t 2 =12 900t -42 000t+40 000. 當t =70時,DE最小. 43 3 .一船自西向東勻速航行 ，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75,距塔68海里的 回，下午 2時 到達這座燈塔的東南方向的 N^,則這只船的航行速度為 海里/時. 【答案】 17，

3、6 2 【解析】如圖所示 ,在△ PMNh PM . 一 MN * sin450 sin12Cp MN 68 2 3 =34、6. v =M4N =17 而(海里/時). 4 .如圖，海岸線上有相距5 n mile的兩座燈塔A,B,燈塔眼于火T塔A勺正南方向.海上停泊著兩艘 輪船，甲位于燈塔A的北偏西75 方向，與A相距3J2 n mile的D處;乙船位于燈塔B的北偏西 601■方向，與B相距 5匚idle的皿，則兩艘船之間的距離為 nmile. 【答案】 J13 【解析】連結AC BC =AB =5 .. ABC =60 , 所以△ AB@等邊

4、三角形. 所以 AC=5,且/DAC =180-75 - 60- 45K 在△ AC砰,由余弦定理得 CD2 =(3、、2)2 52 -2 3,2 5 COS 二 =1< 4 故兩艘船之間的距離為 .13「而已 1.為測量某塔ABI勺高度，在一幢與塔A琳目距20 m的樓頂處測得塔頂 俯角為45。，那么塔ABI勺高度是 m. 【答案】20(1() 【解析】如圖所示，由已知，四邊形CBMD正方形，而CB=20 m, A勺仰角為30,，測得塔基B的 20 m 打 所以 BM=20 m. 又在 Rt^AM沖」〕M— 20 m , NADM =30 ? . AM

5、=DMtan30 =206( m). ??.AB=AM MB =20 ,3 20 =20(1 $ m. 2.如圖，一貨輪航行到 皿,測得燈塔琉貨輪的北偏東15。，與燈塔St目距20海里，隨后貨輪按北 偏西30。的方向航行30分鐘后到達N^，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為 海里/時 【答案】 20( , 6 - 2) 【解析】由題意知 SM =20 .. SNM =105 ..NMS=45 , ??? / MSN =沖.-JMN- sin30 20 sin105 MN = 10 , =10(v6 -、.2). sin105” ???貨輪航行的

6、速度 v二 10( .’ 6 - 正) 20(, 6 - 2) 海里/時. 3.如圖所示,在河岸ACIU量河白^寬度BC,圖中所標的數據 a .b c萃一 ,P是可供測量的數據.下面給 填序號). b 出的四組數據中，對測量河寬較適宜的是 B c和a ②c和b 【答案】④ 【解析】從題圖中可以看出 ,不能直接測量出a及c,故①②③均不適宜.只需測量出b和□(在河 邊一側即可測出),此時， P = 2 一 口 ?在△ ABW ,利用正弦定理，可得 b_ = a sin： sin： ，a=b3= b 城 sin 一 cos， =btana 4 .有

7、一長為100 m的斜坡，它的傾斜角為45、現在打算把傾斜角改為 301則坡底要伸長 【答案】50( .. 6 - . 2) 【解析】如圖,依題意.AC =100./ACB =451 /ADC =30 J 由正弦定理，得 CD一 100 cd = 50(76-72). sin(45 U -309) sin30” 5 .要測量對岸A、 B兩點之間的距離，選取 J3 km的C、 D /ACB=75 ./BCD =45 .ZADC =30/ADB = 跖’，則 A、B之間的距離 為 ^ 【答案】 5 km 【解析】如圖所示，在△ AC沖.ZACD =120 ,ZCAD = /A

8、DC =30) AC =CD =「3 km. 在ABC砰.BCD =45 ..BDC=75 ..CBD=60 , .3sin7511 .6 <2 BC . sin60” 2 △ ABW，由余弦定理，得 AB2 -( .3)2 ( 62 2)2 -2 .3 62 2 cos75 一:卜2+ 3 - . 3 -5, AB = \ 5( km). .?.A、B之間的距離J5 km. 6 .海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望流和B島撐60’的視角，從B島望端和 形成75,視 角，則B、C勺距離是 海里。 答案：5,6 解析：在△ ABW ,由正弦定理易求 BC

9、= 5病 海里). 7 .(2011上海高考，文8)在相距2千米的A,B兩點處測量目標C,若NCAB=75。./CBA = 60。 則A、C兩點之間的距離是 千米. 【答案】.6 【解析】如圖所示，在^AB* , /ACB=180 -(75 +60 )=45 . 根據正弦定理，得AC=ABsnB = 2Sn60： =癡千米). sinC sin45 ( 8 .甲船在A點觀察乙船的方位角為北偏東 60,兩船相距 口海 里，乙船向正北方向行駛，若甲 船速度是乙船速度的 J3倍1則甲船應沿方位角 方向前進才能與乙船相遇 ，此 時乙船航行了 海里. 【答案】30 a 【解析】

10、設乙船自B點向北行駛x海里至CM與甲船相遇，此時 AC=J3x ! 由甲在A處觀察，乙的方位角為60,知.ZABC =120。. 在△ABW AC2 =AB2 BC2 - 2AB BC C0S12U , ，（.3x）2 -a2 x2 -2ax （-2）. 整理，得 2x2 -ax 一a2 = 0.「. x=a,貝U AC = V3x = V3a . 由正弦定理,sin . CAB =-BC sin120 = "2^ a = 1 AC /CAB =30’. /CAD =60 -30 =30。. 甲船應沿方位角為北偏東 30circ方向前進，此時乙船航行了 a海里

11、. 且滿足 9 .(2012屆江蘇干北)四市一模)在△ ABC^ ,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c, cos A =工 AB AC =2. 3 ⑴求^ ABC勺面積； (2)若b+c=5,求a的值. 【解】（1） 「cos A =3 sin A = 2^2. —T 3 又 「 AB AC =bccosA=2, 1. bc=6. S|_ abc - 2bc sin A = J 6 2= 2,2 . 2 3 (2) b+c=5,bc=6, ,b=2 b=3 ?? 或 c=3 c=2 由余弦定理，得 a2 =b2 +c2 -2bccosA=9, a=3. 1

12、0 .如圖，有相交成60的兩條直線MM、NN，交點為 O.甲、乙兩人分別在直線MM、NN上, 起初甲在離。點3千米的A處，乙在離。點1千米的眺，后來兩人都用4千米/小時的速度，甲沿 MM方向、乙沿N N方向同時開始步行 . ⑴ 求經過t小時(t>0)后兩人之間距離的表達式 (用含t的式子表示)； (2)經過多少小時兩人之間的距離最短 ？求出最短距離. 【解】(1)連結AB,則在4AO呻，由余弦定理，得AB =出2+32 —2m1m3mcos60- =V7. 設經過t小時，甲、乙兩人分別位于點 P、Q處，則 4P=4L3 BQ=4l. 當 0<4tE3. 即 0

13、4 , PQ2 =(3 -4t)2 + ；1+ 4t)2 -2(3 -4t)( 1+4t)cos60 0 . ②當 4t>3,即 t A3 時.PQ2 =(4t —3)2+(1+4t)2 —2(4t —3)(1+4t)cos120 . 綜上 PQ = 48t2 -24t 7(t 0). (2)PQ = , 48(t-4)2 4. 當t = 1時，兩人之間的距離最短，最短距離為2千米. 4 11 .某觀測站C^AM的南偏西20’的方向.由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40 ,在 皿測得 公路上距C為31千米的B處有一人正沿公路向 A城走去，走了 20千米后到達 皿，此時CD司的

14、距 離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達 A城？ 【解】設/ACD ="、/CDB = P .在△ BC腕,由余弦定理, 2 2 — 2-2 2 2 2 得cos -： =BD1 CD2 -CB2 = 202 212 -312 = _1 2BD CD 2 20 21 7 則 sin -： =4 3 7 而sin : -sin （P -60 尸sin : cos60 -cos l-sin60 4.3 i i 、3 5.3 = X - I — X = 7 2 7 2 14 在△ AC砰,由正弦定理，得 21

15、4=-AD-. sin60" sin- ?? 21 ~3 . AD =21sinf =一=15（千米）. sin60J 2 ,若沿途測 12.某人在塔的正東方向沿著南偏西 60的方向前進40 m以后，望見塔在東北方向 得塔的最大仰角為30、求塔高. 【解】在^ BD討 CD =40 .. BCD =30 .. DBC =180 -45 =135 . 由正弦定理，得 一CD一 =一BD一 ■ sin DBC sin DCB BD =40sin30 =20/2. sin135" 在 Rt^BE阱.^BDE =180 -135 -30 =15, ??.BE=DBsin15" =20夜 后［衣=10(的—1). 在RtAABE^ .〃EB =30 \ ，AB=BEtan30 = 10(3- 3)( m). 3 故所求的塔高為10 (3 - \ 3) m. 3