3、—24=0.C2： x2+y2+2x+2y—8=0，則兩圓公共弦所在的直線方程
是 ^
【答案】x-2y+4=0
【解析】兩圓相減即得 x-2y+4=0.
5 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓x2 + y2 =4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線 12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c
的取值范圍是 ^
7
【答案】（-13,13）
【解析】如圖所示，若圓上有且僅有 4個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,
則直線介于li」2之間，且不包括li」2 .由題意知，圓上的點(diǎn)到li的距離為1,故圓心到直線li的距離也為1.所以
c _ 區(qū) _ [ I
12
4、2 52 13
c = 13.由題目的對(duì)稱性知 cw （—13.13）.
課后作業(yè)夯基
基礎(chǔ)鞏固
2 2
1 .直線y=x+1與圓x + y =1的位置關(guān)系是（）
A.相切 B.相交但直線不過圓心
C.直線過圓心 D.相離
【答案】B
【解析】圓心到直線的距離
_22
d - 1 --
、2一 2
<1 .，直線與圓相交但不過圓心
2 .若a、b、c是直角三角形的三邊（c為斜邊），則圓x2+y2 =2被直線ax+by+c=0所截得的弦長等于（）
A.1 B.2 C. \3 D. 23
【答案】B
【解析】: a、b、c是直角三角形的三條邊，
5、、r 一 ，一八 ,,, c ?
設(shè)圓心O到直線ax+by+c=0的距離為d,則d = , = 1.
. a2 b2
???直線被圓所截得的弦長為 2 . （ 2）2 -12 =2.
3.過點(diǎn)（0,-1）作直線l與圓x2 + y2 —2x —4y -20 =0交于A、B兩點(diǎn),如果| AB|=8,則直線l的方程為（）
A.3x+4y+4=0
B.3x-4 y-4=0
C.3x+4y+4=0 或 y+1=0
D.3x-4y-4=0 或 y+1=0
【答案】C
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x -1）2 （y -2）2 ^25.
圓心為（1,2）,半徑r=5,
又|AB=8,從而圓
6、心到直線的距離等于 3.
由點(diǎn)到直線的距離公式得直線方程為
3x+4y+4=0或 y+1=0.
2 2 2 2 2
4.若圓（x—a） +（y-b） =b +1始終平分圓（x+1） +（y+1） =4的周長，則a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）
2
A. a -2a -2b -3 =0
_ 2
B. a 2a 2b 5=0
2 2
C. a 2b 2a 2b 1 =0
D. 3a2 2b2 2a 2b 1 = 0
【答案】B
【解析】 利用公共弦始終經(jīng)過圓 （x +1）2 +（y +1）2 =4的圓心即可解得 .兩圓公共弦所在直線方程為
2 2
（2a+2）x+（2b +
7、2）y —a —1=0 .它經(jīng)過圓心（-1,-1）, 代入得 a +2a+2b+5=0. 2 2 2 2
5 .兩圓 x +y —4x+2y+1=0 與 x +y +4x—4y-1 =0 的公切線有（）
A.1條 B.2條 C.4條 D.3條
【答案】D
【解析】 圓x2 +y2 —4x+2y +1 =0的圓心為（2,-1）,半徑為2,圓x2+y2 +4x-4y-1 =0的圓心為（-2,2）.
半徑為3,故兩圓外切，因此它們有一條內(nèi)公切線，兩條外公切線.
6 .（2012山東棗莊月考）已知圓x2+y2 =4與圓x2+y2 —6x+6y+14=0關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程是
（
8、）
A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0
C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
【答案】D
【解析】兩圓關(guān)于直線 l對(duì)稱，則直線l為兩圓圓心連線的垂直平分線 .圓x2 + y2 =4的圓心為O（0,0）,圓
x2 +y2 -6x+6y +14 =0的圓心為R3,-3),則線段OP勺中點(diǎn)為Q(3 3).其斜率k0p =
3 _0 一2 一0 3.0 2
=—1.則直
線l的斜率為k=1,故直線l的方程為y-（-|） =x --3 .即x-y-3=0.
7.已知一圓的方程為
+ y2 —6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)（3,5），的最長弦和最短弦分別為
AC和BD則四邊
9、形
ABCD
的面積為（）
A. 10 J6
B. 20 6
C. 30,6
D. 40、6
【解析】圓的方程可化為
(x -3)2 (y-4)2 =52 .
???圓心為 P（3,4）.
，過點(diǎn)（3,5）的最長弦為直徑|AC=10,
過點(diǎn)（3,5）的最短弦
|BD = 2,52 -[(3 -3)2 (5-4)2] =4,6.
S四邊形abcd =2lAQI BD =1^。^ 4>/6=20x/6.
8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓（x—2）2+y2 =3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M（x,y）滿足OM CM=0,則丫等于（ x
A、3 A.
3
10、
B.”號(hào)
C. .3
D
??? OM* CM* =0,
OM
,LCM . -.OM^圓C的切線.
設(shè)OM勺方程為y=kx, 由J2k_L =百.得k = 士卡.即工二七有
*2 1 x
9 .已知圓Ci： x2+y2 —6x—7 =0與圓C2: x2+y2 —6y —27 =0相交于A B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程
為 ^
【答案】x+y-3=0
【解析】AB的中垂線即為圓C「圓C2的連心線C1C2 .又Ci（3Q） （0.3） .所以C1C2的方程為x+y-3=0,即線 段AB的中垂■線方程為x+y-3=0.
2 2
10 .直線x-2y+5=0與圓x
11、+y =8相交于 A B兩點(diǎn)，則|AB=
【答案】2,3
【解析】圓心到直線的距離
d - 55
=J5 .半徑 R = 2J2.
所以弦長|AB =2而2"彳=2痔5 = 2，3.
2 2
11 .圓X +y —2x—1=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程是 ^
【答案】(x 3)2 (y -2)2 =2
【解析】圓x2+y2 —2x—1 =0= (x —1)2 + y2 =2.即圓心為(1,0),半徑為J2.其關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱的
圓的半徑不變，兩圓圓心連線段的中點(diǎn)在直線 2x-y+3=0上，所以所求圓的圓心為 (-3,2),所求圓的方程
12、為
2 2
(x 3) (y -2) =2.
12.已知圓C經(jīng)過P(4,-2), Q-1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為 4J3 .半徑小于5,求直線PQ與圓C的方 程.
【解】直線PQ的方程為y -3 =衛(wèi)一^"(x T).
1 -4
即 x+y-2=0,
方法一：由題意圓心C在PQ的中垂線y —352 =1黑(x—4]J) ?即y=x-1上， 2 2 2 2
設(shè) C(n, >1),則 r =|CQ =(n+1) +(n-4).
由題意，有 r2 =(2 J3)2 +| n| 2 .
??? n2 12 =2n2 -6n 17
解得 n=1 或 5, 1- r2
13、=13或 37(舍)，
???圓 C的方程為(x -1)2 +y2 =13.
方法二：設(shè)所求圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F =0,
4D -2E F --20
由已知得 D -3E -F =10.
E2 -4F =48. J
[D=-2. D =-10.
解得｛E =0.或《E = -8.
F - -12 . F =4
D 二 一2
當(dāng)( E =0.時(shí) r =V13<5;
F = —12 J
D = -10 .
當(dāng) J E = —8.時(shí) J =庖>5(舍).
J F = 4
，所求圓的方程為 x2 -y2_2x-12=0.
13.已知圓
14、 x2 +y2 —4x+2y —3 = 0 和圓外一點(diǎn) M(4,-8).
⑴ 過M作圓的割線交圓于 A、B兩點(diǎn)，若| AB=4,求直線AB的方程；
(2)過M作圓的切線，切點(diǎn)為C、D,求切線長及CD所在直線的方程.
【解】(1)圓x2 +y2 -4x+2y —3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2 +(y+1)2 =8.
圓心為P(2,-1),半徑r =2點(diǎn).
若割線斜率存在，設(shè)ABy+8=k(x-4),
即 kx-y-4 k-8=0,
設(shè)AB的中點(diǎn)為N則| PN =
2k 1 -4k-8
2k_7
k2 1
2=r2 狷 k=_45
28
此時(shí)AB的直線方程為45x+
15、28y+44=0.
②若割線斜率不存在，AB x=4,代入圓方程得
2
y +2y —3=0 .解得 y1 =1.y2 = —3.符合題意.
綜上，直線AB的方程為45x+28y+44=0或x=4.
(2)切線長為 TlPM 2 -r2 = 74+49-8 = 3E.
以 PW直徑的圓的方程為(x-2)( x-4)+( y+1)( y+8)=0,即 x2 + y2 —6x+9y+16 = 0.
2 2
又已知圓的萬程為 x y -4x-2y-3=0,
兩式相減，得2x-7y-19=0,
所以直線CD的方程為2x-7y-19=0.
拓展延伸
14.已知 m WR
16、直線 l : mx—(m2 +1)y =4m和圓 C: x2 + y2 —8x + 4y + 16 = 0.
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為 1的兩段圓弧？為什么？
2
【解】(i)設(shè)直線i的斜率為k.直線i的方程可化為丫= m x_ 4m此時(shí)直線i的斜率k= m y m2 1 m2 1 m2 1
因?yàn)閕 m <1(m2十i).所以? k| =Jml<1 .當(dāng)且僅當(dāng)im=i時(shí)等號(hào)成立.
2 m i 2
所以斜率k的取值范圍是
(2)不能.由(1)知直線l的方程為y=k(x-4), 其中| k| w.
圓C的圓心 為(4,-2),半徑r=2,圓心C到直線l的距離為d = 2
>1 .即 d
.1k2
,從而，若直線I與圓C相交，則圓C截直線I所得的弦所對(duì)的圓心角小于
年 所以I不能將圓C分割成弧長的比值為 1的兩段圓弧
【贏在高考】2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系配套練習(xí)
