9、(x)=4x+m2x+1有且僅有一個零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn).
思路分析 由題意可知,方程4x+m2x+1=0僅有一個實根,再利用換元法求解.
解析 ∵f(x)=4x+m2x+1有且僅有一個零點(diǎn),
即方程(2x)2+m2x+1=0僅有一個實根.
設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0.
當(dāng)Δ=0時,即m2-4=0,
∴m=-2時,t=1;m=2時,t=-1(不合題意,舍去),
∴2x=1,x=0符合題意.
當(dāng)Δ>0時,即m>2或m<-2時,
t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根,
即f(x)有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn).
∴這種情況不符合題意.
綜上可知:m=-2時,
10、f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為x=0.
13.已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實數(shù)q的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且區(qū)間D的長度為12-t(視區(qū)間[a,b]的長度為b-a).
解 (1)∵函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3的對稱軸是x=8,∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù).
∵函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),則必有即∴-20≤q≤12.
(2)∵0≤t<10,f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù),在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù),且對稱軸是x=8.
①當(dāng)0≤t≤
11、6時,在區(qū)間[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,
∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,
解得t=,∴t=;
②當(dāng)60).
(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范
12、圍;
(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
解 (1)法一:∵g(x)=x+≥2=2e,
等號成立的條件是x=e,
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點(diǎn).
法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致圖象如圖:
可知若使g(x)=m有零點(diǎn),
則只需m≥2e.
法三:由g(x)=m得
x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根,
故等價于,
故m≥2e.
(2)若g(x)-f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x) 的圖象有兩個不同的交點(diǎn),作出g(x)=x+(x>0)的大致圖象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其圖象的對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.
故當(dāng)m-1+e2>2e,
即m>-e2+2e+1時,
g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn),
即g(x)-f(x)=0有兩個相異實根.
∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞)