《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.6》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.6（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 精品資料
2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
1．對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM.
(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)
①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠
2、1)．
(3)對(duì)數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad.
3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1
01時(shí)，y>0
當(dāng)01時(shí)，y<0
當(dāng)00
(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)
(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)
4．反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線__
3、y＝x__對(duì)稱．
1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”)
(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，則x＋y＝5. ( √ )
(2)2log510＋log50.25＝5. ( )
(3)已知函數(shù)f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝2. ( √ )
(4)log2x2＝2log2x. ( )
(5)當(dāng)x>1時(shí)，logax>0. ( )
(6)當(dāng)x>1時(shí)，若logax>logbx，則a
4、)
2．(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則 ( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c
答案 D
解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋，
b＝log510＝1＋log52＝1＋，
c＝log714＝1＋log72＝1＋，顯然a>b>c.
3．(2013浙江)已知x，y為正實(shí)數(shù)，則 ( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x2lg y
C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y D
5、．2lg(xy)＝2lg x2lg y
答案 D
解析 2lg x2lg y＝2lg x＋lg y
＝2lg(xy)．故選D.
4．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________．
答案 (－，＋∞)
解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－，＋∞)，
令t＝2x＋1(t>0)．
因?yàn)閥＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，
t＝2x＋1在(－，＋∞)上為增函數(shù)，
所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是(－，＋∞)．
5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為_(kāi)____________
6、___．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴f(x)在(－∞，0]上為減函數(shù)，
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)>0?logx<－或logx>
?x>2或0
7、啟迪 (1)利用對(duì)數(shù)的定義將x＝log43化成4x＝3；
(2)利用分段函數(shù)的意義先求f(1)，再求f(f(1))；
f(log3)可利用對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行計(jì)算．
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，
2－x＝，所以(2x－2－x)2＝()2＝.
(2)因?yàn)閒(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.
因?yàn)閘og3<0，所以f(log3)＝3＋1
＝3＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5.
思維升華 在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，要熟練掌握對(duì)數(shù)式的定義，靈活使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式和對(duì)數(shù)恒等式對(duì)式子進(jìn)行
8、恒等變形，多個(gè)對(duì)數(shù)式要盡量化成同底的形式．
已知函數(shù)f(x)＝則f(2＋log23)的值為_(kāi)_______．
答案
解析 因?yàn)?＋log23<4，
所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，
而3＋log23>4，
所以f(3＋log23)＝()＝()
＝＝.
題型二 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例2 (1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是 ( )
(2)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是 (
9、 )
A．c＝2>log49，
10、
又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，
且在(－∞，0]上是增函數(shù)，
故f(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，
∴f(0.2－0.6)
11、a(x＋b) (a>0且a≠1)的圖象過(guò)兩點(diǎn)(－1，0)和(0,1)，則a＝________，b＝________.
答案 (1)A (2)2 2
解析 (1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，
c＝2log52＝log522
12、樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
思維啟迪 f(x)恒有意義轉(zhuǎn)化為“恒成立”問(wèn)題，分離參數(shù)a來(lái)解決；探究a是否存在，可從單調(diào)性入手．
解 (1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，
則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，
x∈[0,2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，
當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)恒有意義，
即x∈[0,2]時(shí)，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù)，
∵f(x)在區(qū)間[
13、1,2]上為減函數(shù)，
∴y＝logat為增函數(shù)，
∴a>1，x∈[1,2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，
∴，即，
故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.
思維升華 解決對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì)
(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)；
(2)確定函數(shù)的定義域，無(wú)論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；
(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤．
已知f(x)＝log4(4x－1)．
14、
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)求f(x)在區(qū)間[，2]上的值域．
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
(2)設(shè)0
15、＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是 ( )
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b
思維啟迪 (1)利用冪函數(shù)y＝x0.5和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，結(jié)合中間值比較a，b，c的大??；
(2)化成同底的指數(shù)式，只需比較log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中間值或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較．
解析 (1)根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.
16、30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1.
所以blog3>log43.6.
方法二 ∵log3>log33＝1，且<3.4，
∴l(xiāng)og31，
∴l(xiāng)og43.6log3>log43.6.
17、
由于y＝5x為增函數(shù)，∴5>5>5.
即5>() >5，故a>c>b.
答案 (1)C (2)C
溫馨提醒 (1)比較冪、對(duì)數(shù)的大小可以利用數(shù)形結(jié)合和引入中間量利用函數(shù)單調(diào)性兩種方法．
(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，多選0或1.
方法與技巧
1．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性
在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}．對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按01進(jìn)行分類討
18、論．
2．比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性．
3．多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問(wèn)題，可通過(guò)圖象與直線y＝1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定．
失誤與防范
1．在運(yùn)算性質(zhì)logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無(wú)M＞0的條件下應(yīng)為logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α為偶數(shù))．
2．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
3．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍．
19、
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：40分鐘)
一、選擇題
1．函數(shù)y＝的定義域是 ( )
A．{x|00，a≠1)在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是 ( )
答案 A
解析 ∵函數(shù)f(x)為奇
20、函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0，
即(k－1)ax－a－x＋(k－1)a－x－ax＝0，
∴(k－2)(ax＋a－x)＝0關(guān)于x恒成立，
∴k＝2，∴f(x)＝ax－，
又函數(shù)在R上是減函數(shù)，∴0ln e，∴x>1.
∵y＝log52
21、>＝，∴f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 f(a)>f(－a)?或
?或
?a>1或－10，且a≠1，∴u＝ax－3為增函
22、數(shù)，
∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)，
因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒為正，
∴a－3>0，即a>3，故選D.
二、填空題
6．計(jì)算(lg －lg 25)100＝________.
答案 －20
解析 (lg －lg 25)100＝(lg )10－1
＝－210＝－20.
7．已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________________．
答案 {x|－12}
解析 當(dāng)x≤0時(shí)，3x＋1>1?x＋1>0，∴－10時(shí)，log2x>1?x>2，∴x>2.
23、綜上所述，x的取值范圍為－12.
8．若log2a<0，則a的取值范圍是____________．
答案
解析 當(dāng)2a>1時(shí)，∵log2a<0＝log2a1，
∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，
∴a2－a<0，∴01.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，
∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此時(shí)不合題意．
綜上所述，a∈.
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性
24、并予以證明；
(3)當(dāng)a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集．
解 (1)要使函數(shù)f(x)有意義．
則解得－11時(shí)，f(x)在定義域{x|－10?>1，解得00的x的解集是{x|0
25、loga(ax)loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)＝(logax＋)2－.
當(dāng)f(x)取最小值－時(shí)，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時(shí)取得．
若(loga2＋)2－＝1，則a＝2，
此時(shí)f(x)取得最小值時(shí)，x＝(2－)＝?[2,8]，舍去．
若(loga8＋)2－＝1，則a＝，
此時(shí)f(x)取得最小值時(shí)，x＝()＝2∈[2,8]，符合題
26、意，
∴a＝.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：30分鐘)
1．設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 ( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定義域?yàn)?－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1
27、
解析 根據(jù)同一坐標(biāo)系中三個(gè)不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象位置對(duì)比，可得
①若a，b，c均大于1或均小于1，則有a>b>c；
②若有一個(gè)大于1，則c>1，且0c>1，且00，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝________.
答案 16
解析 f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8，
f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x
28、2…x2 015)＝16.
4．設(shè)f(x)＝|lg x|，a，b為實(shí)數(shù)，且01.
(3)在(2)的條件下，求證：由關(guān)系式f(b)＝2f()所得到的關(guān)于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
(1)解 由f(x)＝1得，lg x＝1，
所以x＝10或.
(2)證明 結(jié)合函數(shù)圖象，由f(a)＝f(b)可判斷a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，
從而－lg a＝lg b，從而ab＝1.
又＝>＝1(因≠b)．
(3)證明 由已知可得b＝()2，
得4b＝
29、a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，
g(b)＝＋b2＋2－4b，
因?yàn)間(3)<0，g(4)>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(b)在(3,4)內(nèi)一定存在零點(diǎn)，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
5．已知函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
解 函數(shù)y＝log (x2－ax＋a)是由函數(shù)y＝logt和t＝x2－ax＋a復(fù)合而成．
因?yàn)楹瘮?shù)y＝logt在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
而函數(shù)t＝x2－ax＋a在區(qū)間(－∞，)上單調(diào)遞減，
故函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，]上單調(diào)遞增．
又因?yàn)楹瘮?shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)，
所以
解得即2≤a≤2(＋1)．
高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.6
