高考數(shù)學浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.3
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1、 精品資料 7.3 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1. 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 a∩α=? a?α,b?α,a∥b a∥α a∥α,a?β,α∩β=b 結(jié)論 a∥α b∥α a∩α=? a∥b 2. 面面平行的判定與性質(zhì) 判定 性質(zhì) 定義 定理 圖形 條件 α∩β=? a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b α∥β,a?β 結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a
2、∥α 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. ( ) (2)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面. ( √ ) (3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α. ( ) (4)空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB,AD的中點,則EF∥平面BCD. ( √ ) (5)若α∥β,直線a∥α,則a∥β. ( ) 2. 若直線l不平行于平面α,且l?α,則 ( ) A.α內(nèi)的所有直線與l異面 B.α內(nèi)不存在與l平行
3、的直線 C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D.α內(nèi)的直線與l都相交 答案 B 解析 由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關系,因而只有選項B是正確的. 3. 下列命題中,錯誤的是 ( ) A.平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行 B.平行于同一個平面的兩個平面平行 C.若兩個平面平行,則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行 D.若兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面 答案 C 解析 由面面平行的判定定理和性質(zhì)知A、B、D正確.對于C,位于兩個平行平面內(nèi)的直線也可能異面.
4、 4. 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F 在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于________. 答案 解析 因為直線EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD, 且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC, 又E是DA的中點,所以F是DC的中點, 由中位線定理可得EF=AC, 又在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, 所以AC=2,所以EF=. 5. 已知平面α∥平面β,直線a?α,有下列命題: ①a與β內(nèi)的所有直線平行;②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行;③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直. 其中真命題的
5、序號是________. 答案?、? 解析 因為α∥β,a?α,所以a∥β,在平面β內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a平行,但不是所有直線都與直線a平行,故命題②為真命題,命題①為假命題.在平面β內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a垂直,故命題③為假命題. 題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 例1 (2012山東)如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,△ABD為正三 角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求證:BE=DE; (2)若∠BCD=120,M為線段AE的中點,求證:DM∥平面BEC. 思維啟迪 (1)利用等腰△EDB底邊中線和高重合的性質(zhì)證明; (2)根據(jù)線面平行的判定或兩個平面平行的性
6、質(zhì)證明線面平行. 證明 (1)如圖,取BD的中點O,連接CO,EO. 由于CB=CD,所以CO⊥BD. 又EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC?平面EOC, 所以BD⊥平面EOC, 因此BD⊥EO. 又O為BD的中點, 所以BE=DE. (2)方法一 如圖,取AB的中點N,連接DM,DN,MN. 因為M是AE的中點, 所以MN∥BE. 又MN?平面BEC,BE?平面BEC, 所以MN∥平面BEC. 又因為△ABD為正三角形, 所以∠BDN=30. 又CB=CD,∠BCD=120,因此∠CBD=30. 所以DN∥BC. 又DN?平面BEC,BC?平面BEC
7、, 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN=N, 所以平面DMN∥平面BEC. 又DM?平面DMN, 所以DM∥平面BEC. 方法二 如圖,延長AD,BC交于點F,連接EF. 因為CB=CD,∠BCD=120, 所以∠CBD=30. 因為△ABD為正三角形, 所以∠BAD=60,∠ABC=90, 因為∠AFB=30, 所以AB=AF. 又AB=AD, 所以D為線段AF的中點. 連接DM,由于點M是線段AE的中點, 因此DM∥EF. 又DM?平面BEC,EF?平面BEC, 所以DM∥平面BEC. 思維升華 判斷或證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定
8、義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別為棱 A1B1,D1C1上的點,且EH∥A1D1,過EH的平面與棱BB1,CC1相 交,交點分別為F,G,求證:FG∥平面ADD1A1. 證明 因為EH∥A1D1,A1D1∥B1C1, EH?平面BCC1B1,B1C1?平面BCC1B1, 所以EH∥平面BCC1B1. 又平面FGHE∩平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG,即
9、FG∥A1D1. 又FG?平面ADD1A1,A1D1?平面ADD1A1, 所以FG∥平面ADD1A1. 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例2 如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC, A1B1,A1C1的中點,求證: (1)B,C,H,G四點共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 思維啟迪 要證四點共面,只需證GH∥BC;要證面面平行,可證一個 平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面平行. 證明 (1)∵GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面. (2)∵E、F分別為AB
10、、AC的中點,∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG. 思維升華 證明面面平行的方法: (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行; (4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行
11、”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中點, E、F、G分別是BC、DC、SC的中點,求證: (1)直線EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 證明 (1)如圖,連接SB, ∵E、G分別是BC、SC的中點, ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1, EG?平面BDD1B1, ∴直線EG∥平面BDD1B1. (2)連接SD, ∵F、G分別是DC、SC的中點,∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1,F(xiàn)G?平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG, FG?平面EF
12、G,EG∩FG=G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 題型三 平行關系的綜合應用 例3 如圖所示,在四面體ABCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD, 試問截面在什么位置時其截面面積最大? 思維啟迪 利用線面平行的性質(zhì)可以得到線線平行,可以先確定截 面形狀,再建立目標函數(shù)求最值. 解 ∵AB∥平面EFGH, 平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可證EF∥GH, ∴截面EFGH是平行四邊形. 設AB=a,CD=b,∠FGH=α (α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角). 又設FG=x,GH=y(tǒng),
13、則由平面幾何知識可得=,=,兩式相加得+=1,即y=(a-x), ∴S?EFGH=FGGHsin α =x(a-x)sin α=x(a-x). ∵x>0,a-x>0且x+(a-x)=a為定值, ∴當且僅當x=a-x時,x(a-x)=,此時x=,y=. 即當截面EFGH的頂點E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大. 思維升華 利用線面平行的性質(zhì),可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置,對于最值問題,常用函數(shù)思想來解決. 如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方 形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,在側(cè)面PBC內(nèi),有BE⊥PC
14、于E,且BE =a,試在AB上找一點F,使EF∥平面PAD. 解 在平面PCD內(nèi),過E作EG∥CD交PD于G, 連接AG,在AB上取點F,使AF=EG, ∵EG∥CD∥AF,EG=AF, ∴四邊形FEGA為平行四邊形, ∴FE∥AG. 又AG?平面PAD,F(xiàn)E?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. ∴F即為所求的點. 又PA⊥面ABCD,∴PA⊥BC, 又BC⊥AB,∴BC⊥面PAB. ∴PB⊥BC. ∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2. 設PA=x則PC=, 由PBBC=BEPC得: a=a, ∴x=a,即PA=a,∴PC=a. 又CE= =a
15、, ∴=,∴==, 即GE=CD=a,∴AF=a. 立體幾何中的探索性問題 典例:(14分)如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F(xiàn), G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點. (1)求證:DE∥平面BCP; (2)求證:四邊形DEFG為矩形; (3)是否存在點Q,到四面體PABC六條棱的中點的距離相等?說明 理由. 思維啟迪 (1)利用DE∥PC證明線面平行; (2)利用平行關系和已知PC⊥AB證明DE⊥DG; (3)Q應為EG中點. 規(guī)范解答 (1)證明 因為D,E分別是AP,AC的中點, 所以DE∥PC. 又因為DE?平面
16、BCP, 所以DE∥平面BCP. [4分] (2)證明 因為D,E,F(xiàn),G分別為AP,AC,BC,PB的中點, 所以DE∥PC∥FG, DG∥AB∥EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形. 又因為PC⊥AB, 所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形. [8分] (3)解 存在點Q滿足條件,理由如下: [10分] 連接DF,EG,設Q為EG的中點, 由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG. 分別取PC,AB的中點M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN. 與(2)同理,可證四邊形MENG
17、為矩形,其對角線交點為EG的中點 Q,且QM=QN=EG, 所以Q為滿足條件的點. [14分] 解決立體幾何中的探索性問題的步驟: 第一步:寫出探求的最后結(jié)論. 第二步:證明探求結(jié)論的正確性. 第三步:給出明確答案. 第四步:反思回顧,查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范. 溫馨提醒 (1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關系的探究,對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究,解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設問,假設其存在并探索出結(jié)論,然后在這個假設下進行推理論證,若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設,若得到矛盾就否定假設. (2)這類問題也可以按類似
18、于分析法的格式書寫步驟:從結(jié)論出發(fā)“要使……成立”,“只需使……成立”. 方法與技巧 1. 平行問題的轉(zhuǎn)化關系 2. 直線與平面平行的主要判定方法 (1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì). 3. 平面與平面平行的主要判定方法 (1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失誤與防范 1. 在推證線面平行時,一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi),否則,會出現(xiàn)錯誤. 2. 在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方
19、向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”. 3. 解題中注意符號語言的規(guī)范應用. A組 專項基礎訓練 (時間:40分鐘) 一、選擇題 1. 若直線a平行于平面α,則下列結(jié)論錯誤的是 ( ) A.a(chǎn)平行于α內(nèi)的所有直線 B.α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行 C.直線a上的點到平面α的距離相等 D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與a成90角 答案 A 解析 若直線a平行于平面α,則α內(nèi)既存在無數(shù)條直線與a平行,也存在無數(shù)條直線與a異面且垂直,所以A不正確,B、D正確.又夾在相互平行的線與平面間的平行線段相等,所以C正確. 2. 若直線m?平面α,則條件甲:“直線l∥
20、α”是條件乙:“l(fā)∥m”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 D 3. 已知a,b是兩條不重合的直線,α,β是兩個不重合的平面,則下列命題中正確的是( ) A.a(chǎn)∥b,b?α,則a∥α B.a(chǎn),b?α,a∥β,b∥β,則α∥β C.a(chǎn)⊥α,b∥α,則a⊥b D.當a?α,且b?α時,若b∥α,則a∥b 答案 C 解析 A選項是易錯項,由a∥b,b?α,也可能推出a?α; B中的直線a,b不一定相交,平面α,β也可能相交; C正確; D中的直線a,b也可能異面. 4. 在空間四邊形A
21、BCD中,E,F(xiàn)分別為AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中點,則 ( ) A.BD∥平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形 B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形 D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是梯形 答案 B 解析 如圖,由題意得,EF∥BD, 且EF=BD. HG∥BD,且HG=BD. ∴EF∥HG,且EF≠HG. ∴四邊形EFGH是梯形. 又EF∥平面BCD,而EH與平面ADC不平行. 故選B. 5. 下列四個正方體圖形中,A,B為正
22、方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是 ( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 解析?、僦幸字狽P∥AA′,MN∥A′B, ∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如圖). ④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP. 二、填空題 6. 過三棱柱ABC—A1B1C1任意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1 平行的直線有________條. 答案 6 解析 如圖,E、F、G、H分別是A1C1、B1C1、BC、AC的中點,則 與平面ABB1A1平行的直線有
23、EF,GH,F(xiàn)G,EH,EG,F(xiàn)H共6條. 7. 如圖所示,ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下 底面的棱A1B1、B1C1的中點,P是上底面的棱AD上的一點,AP=, 過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=________. 答案 a 解析 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1, ∴MN∥PQ.∵M、N分別是A1B1、B1C1的中點,AP=, ∴CQ=,從而DP=DQ=,∴PQ=a. 8. 已知m,n,l為三條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列命題中, ①α∥β,m?α,n?β?m∥n; ②l⊥β,α⊥β?l∥α; ③m⊥
24、α,m⊥n?n∥α; ④α∥β,l⊥α?l⊥β. 判斷錯誤的是________. 答案?、佗冖? 解析?、馘e誤,兩平行平面內(nèi)的任意兩直線可平行或異面; ②錯誤,直線l可在平面α內(nèi),此時只需垂直于兩平面的交線即可; ③錯誤,直線n可在平面α內(nèi); ④正確,空間想象即可. 三、解答題 9. 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分別是AA1和B1C的中點. (1)求證:DE∥平面ABC; (2)求三棱錐E-BCD的體積. (1)證明 取BC中點G,連接AG,EG. 因為E是B1C的中點,所以EG∥BB1,且EG=BB1. 由直棱
25、柱知,AA1綊BB1,而D是AA1的中點,所以EG綊AD, 所以四邊形EGAD是平行四邊形.所以ED∥AG. 又DE?平面ABC,AG?平面ABC, 所以DE∥平面ABC. (2)解 因為AD∥BB1,所以AD∥平面BCE, 所以VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC, 由(1)知,DE∥平面ABC. 所以VE-ABC=VD-ABC=ADBCAG =364=12. 10.如圖E、F、G、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、 C1D1、AA1的中點.求證: (1)EG∥平面BB1D1D; (2)平面BDF∥平面B1D1H. 證明 (
26、1)取B1D1的中點O,連接GO,OB, 易證四邊形BEGO為平行四邊形,故OB∥GE, 由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D. (2)由題意可知BD∥B1D1. 如圖,連接HB、D1F, 易證四邊形HBFD1是平行四邊形, 故HD1∥BF. 又B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B, 所以平面BDF∥平面B1D1H. B組 專項能力提升 (時間:30分鐘) 1. 設m,n是平面α內(nèi)的兩條不同直線;l1,l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個充分而不必要條件是 ( ) A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2 C
27、.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2 答案 B 解析 對于選項A,不合題意;對于選項B,由于l1與l2是相交直線,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α,故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它們也可以異面,故必要性不成立,故選B;對于選項C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分條件;對于選項D,由于n∥l2可轉(zhuǎn)化為n∥β,同選項C,故不符合題意.綜上選B. 2. 已知平面α∥平面β,P是α、β外一點,過點P的直線m與α、β分別交于A、C,過點P的直線n與α、β分別交于B、D且PA=6,AC=9,PD=8,則BD的長為________. 答案 24
28、或
解析 根據(jù)題意可得到以下如圖兩種情況:
可求出BD的長分別為或24.
3. 如圖,空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4,
則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中,周長的取
值范圍是________.
答案 (8,10)
解析 設==k,
∴==1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),
∴周長=8+2k.
又∵0 29、
解 ∵α∥β,
∴A1B1∥AB,B1C1∥BC,
又因∠A1B1C1與∠ABC同向.
∴∠A1B1C1=∠ABC.
又∵cos∠ABC==,
∴∠ABC=60=∠A1B1C1.
又∵B1為EB的中點,∴B1A1是△EAB的中位線,
∴B1A1=AB=,
同理知B1C1為梯形BCDE的中位線,
∴B1C1=(BC+DE)=5.
則S△A1B1C1=A1B1B1C1sin 60
=5=.
故△A1B1C1的面積為.
5. 如圖,四棱錐P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,
PD=DC=4,AD=2,E為PC的中點.
(1)求三棱錐A—PDE的體 30、積;
(2)AC邊上是否存在一點M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM
的長;若不存在,請說明理由.
解 (1)因為PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.
又因ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD,
所以AD是三棱錐A—PDE的高.
因為E為PC的中點,且PD=DC=4,
所以S△PDE=S△PDC==4.
又AD=2,所以VA—PDE=ADS△PDE=24=.
(2)取AC中點M,連接EM,DM,因為E為PC的中點,M是AC的
中點,所以EM∥PA.
又因為EM?平面EDM,PA?平面EDM,
所以PA∥平面EDM.
所以AM=AC=.
即在AC邊上存在一點M,使得PA∥平面EDM,AM的長為.
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