高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 7.2

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1、 精品資料 §7.2 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1. 平面的基本性質(zhì) 公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. 2. 直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角(或夾角). ②范

2、圍:. 3. 直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況. 4. 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況. 5. 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 6. 定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉?#215;”) (1)如果兩個(gè)不重合的平面α,β有一條公共直線a,就說平面α,β相交,并記作α∩β=a. ( √ ) (2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說α,β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.( × ) (3)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A

3、,就說α,β相交于A點(diǎn),并記作α∩β=A. ( × ) (4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC. ( × ) (5)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面. ( √ ) 2. 已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b (  ) A.一定是異面直線 B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線 答案 C 解析 由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線,但不可能為平行直線,若b∥c,則a∥b,與已知a、b為異面直線相矛盾. 3. 下列命題正確的個(gè)數(shù)為 (  )

4、 ①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ②梯形可以確定一個(gè)平面 ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面 ④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合 A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,∴①不正確; 兩條平行線可以確定一個(gè)平面,∴②正確; 兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面,∴③正確; 命題④中沒有說清三個(gè)點(diǎn)是否共線,∴④不正確. 4. 如圖,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B, C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過 (  ) A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C但不

5、過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M 答案 D 解析 ∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根據(jù)公理3可知,M在γ與β的交線上. 同理可知,點(diǎn)C也在γ與β的交線上. 5. 已知空間四邊形ABCD中,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),則下列判斷:①M(fèi)N≥(AC+BD);②MN>(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD). 其中正確的是________. 答案?、? 解析 如圖,取BC的中點(diǎn)O, 連接MO、NO, 則OM=AC,ON=BD, 在△MON中,MN<OM+ON=(AC+BD), ∴④正確. 題型一 平面基

6、本性質(zhì)的應(yīng)用 例1 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1 的中點(diǎn).求證: (1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面; (2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn). 思維啟迪 (1)兩條相交直線或兩條平行直線確定一個(gè)平面; (2)可以先證CE與D1F交于一點(diǎn),然后再證該點(diǎn)在直線DA上. 證明 (1)連接EF,CD1,A1B. ∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn), ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P, 則由P∈CE,CE?平面ABCD

7、,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn). 思維升華 公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù);公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù).  (1)以下四個(gè)命題中 ①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線; ②若點(diǎn)A、B、C、D共面,點(diǎn)A、B、C、E共面,則點(diǎn)A、B、C、D、E共面; ③若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面; ④依次首尾相接的四條線段必共面. 正確命題的個(gè)數(shù)是 (  ) A.0

8、B.1 C.2 D.3 (2)a、b是異面直線,在直線a上有5個(gè)點(diǎn),在直線b上有4個(gè)點(diǎn),則這9個(gè)點(diǎn)可確定________個(gè)平面. 答案 (1)B (2)9 解析 (1)①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線,則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面.這與四點(diǎn)不共面矛盾,故其中任意三點(diǎn)不共線,所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C,但是若A、B、C共線,則結(jié)論不正確;③不正確;④不正確,因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上,如空間四邊形. (2)∵a、b是異面直線, ∴a上任一點(diǎn)與直線b確定一平面,共5個(gè),b上任一點(diǎn)與直線a確定一平面,共4個(gè),一共9個(gè). 題型二 判

9、斷空間兩直線的位置關(guān)系 例2 如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別是A1B1、B1C1 的中點(diǎn).問: (1)AM和CN是否是異面直線?說明理由; (2)D1B和CC1是否是異面直線?說明理由. 思維啟迪 第(1)問,連接MN,AC,證MN∥AC,即AM與CN共面;第(2)問可采用反證法. 解 (1)不是異面直線.理由如下: 連接MN、A1C1、AC. ∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn), ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C, ∴A1ACC1為平行四邊形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面內(nèi),故AM和CN不是異面直

10、線. (2)是異面直線.證明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1是正方體, ∴B、C、C1、D1不共面. 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線, 則存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, ∴D1、B、C、C1∈α,與ABCD—A1B1C1D1是正方體矛盾. ∴假設(shè)不成立,即D1B與CC1是異面直線. 思維升華 (1)證明直線異面通常用反證法; (2)證明直線相交,通常用平面的基本性質(zhì),平面圖形的性質(zhì)等; (3)利用公理4或平行四邊形的性質(zhì)證明兩條直線平行.  (1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是 BC1,CD1的中點(diǎn),則下列判斷錯(cuò)誤的是

11、 (  ) A.MN與CC1垂直 B.MN與AC垂直 C.MN與BD平行 D.MN與A1B1平行 (2)在圖中,G、N、M、H分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________.(填上所有正確答案的序號) 答案 (1)D (2)②④ 解析 (1)連接B1C,B1D1,則點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn),MN是△B1CD1的中位線,∴MN∥B1D1, ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1與B1D1相交, ∴MN與A1B1不平行,故選D. (2)圖①中,直線GH∥MN;

12、圖②中,G、H、N三點(diǎn)共面,但M?面GHN, 因此直線GH與MN異面; 圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面; 圖④中,G、M、N共面,但H?面GMN, 因此GH與MN異面. 所以圖②、④中GH與MN異面. 題型三 求兩條異面直線所成的角 例3 空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30°,E、F 分別為BC、AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小. 思維啟迪 取AC中點(diǎn),利用三角形中位線的性質(zhì)作出所求角. 解 取AC的中點(diǎn)G,連接EG、FG, 則EG綊AB,GF綊CD, 由AB=CD知EG=FG, ∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF

13、與AB所成的角,∠EGF(或它的補(bǔ)角)為 AB與CD所成的角. ∵AB與CD所成的角為30°, ∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG為等腰三角形, 當(dāng)∠EGF=30°時(shí),∠GEF=75°; 當(dāng)∠EGF=150°時(shí),∠GEF=15°. 故EF與AB所成的角為15°或75°. 思維升華 (1)求異面直線所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移. (2)求異面直線所成的角的三步曲:即“一

14、作、二證、三求”.其中空間選點(diǎn)任意,但要靈活,經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”,通過作三角形的中位線,平行四邊形等進(jìn)行平移,作出異面直線所成的角,轉(zhuǎn)化為解三角形問題,進(jìn)而求解.  直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于 (  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C 解析 如圖,可補(bǔ)成一個(gè)正方體, ∴AC1∥BD1. ∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1. 又易知△A1BD1為正三角形, ∴∠A1

15、BD1=60°. 即BA1與AC1成60°的角. 求解兩條直線所成角問題概念不準(zhǔn)確致誤 典例:(5分)過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作 (  ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 易錯(cuò)分析 忽視異面直線所成的角,只找兩條相交直線所成角,沒有充分認(rèn)識正方體中的平行關(guān)系. 解析 如圖,連接體對角線AC1,顯然AC1與棱AB、AD、AA1所成的 角都相等,所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對角線,如連 接BD1,則BD1與棱

16、BC、BA、BB1所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴體對角線BD1與棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,體對角線A1C、DB1也與棱AB、AD、AA1所成的角都相等,過A點(diǎn)分別作BD1、A1C、DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條. 答案 D 溫馨提醒 求空間直線所成的角時(shí),常犯以下錯(cuò)誤: (1)不能挖掘題中的平行關(guān)系,找不到其所成的角; (2)線多、圖形復(fù)雜、空間想象力不夠,感覺無從下手. 方法與技巧 1. 主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入

17、法”). (2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線,只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上,因此共線. 2. 判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線. (2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面. 3. 求兩條異面直線所成角的大小,一般方法是通過平行移動(dòng)直線,把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知,異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān),往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解. 失誤與防范 1.

18、正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義,不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”. 2. 不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,一定不能丟掉“不共線”條件. 3. 兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°]. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:40分鐘) 一、選擇題 1. 若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的 (  ) A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件 答案 A 解析 “兩條直線為異面直線”?“兩條直線無公共點(diǎn)”.“兩直線無公共點(diǎn)”?“兩直線異面或平行”.故選A.

19、 2. 若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c (  ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是異面直線 D.平行、相交、是異面直線都有可能 答案 D 解析 當(dāng)a,b,c共面時(shí),a∥c;當(dāng)a,b,c不共面時(shí),a與c可能異面也可能相交. 3. 設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和a,且長為a的棱與長為的棱異面,則a的取值范圍是 (  ) A.(0,) B.(0,) C.(1,) D.(1,) 答案 A 解析 此題相當(dāng)于一個(gè)正方形沿著對角線折成一個(gè)四面體,長為a的棱長一定大于0且小于.選A. 4

20、. 四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長都為,底面ABCD是邊長為2的正方形,則CD與PA所成角的余弦值為 (  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,故CD∥AB,則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角,即為∠PAB. 在△PAB內(nèi),PB=PA=,AB=2,利用余弦定理可知cos∠PAB===,故選B. 5. 設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a、b表示兩條直線,α、β表示兩個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是 (  ) ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b,a

21、?α,P∈b,P∈α?b?α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案 D 解析 當(dāng)a∩α=P時(shí),P∈a,P∈α,但a?α,∴①錯(cuò);a∩β=P時(shí),② 錯(cuò); 如圖,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α, 又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P, ∴β與α重合,∴b?α,故③正確; 兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故④正確. 二、填空題 6. 平面α、β相交,在α、β內(nèi)各取兩點(diǎn),這四點(diǎn)都不在交線上,這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面. 答案 1或4 解析 若過四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)

22、的連線與另外兩點(diǎn)的連線相交或平行,則確定一個(gè)平面;否則確定四個(gè)平面. 7. a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個(gè)命題: ①若a∥b,b∥c,則a∥c; ②若a與b相交,b與c相交,則a與c相交; ③若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線; ④若a,b與c成等角,則a∥b. 上述命題中正確的命題是________(只填序號). 答案 ① 解析 由公理4知①正確;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,故②不正確;a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故③不正確;當(dāng)a,b與c成等角時(shí),a與b可以相交、平行,也可以異面,故④不

23、正確. 8. 若兩條異面直線所成的角為60°,則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”,在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中,“黃金異面直線對”共有________對. 答案 24 解析 正方體如圖,若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線,則直線為面 對角線,以AC為例,與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條,分別 是A′B,BC′,A′D,C′D,正方體的面對角線有12條,所以所 求的黃金異面直線對共有=24(對). 三、解答題 9. 如圖,空間四邊形ABCD中,E、F、G分別在AB、BC、CD上,且滿 足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,過E、F、G的平

24、面交 AD于點(diǎn)H. (1)求AH∶HD; (2)求證:EH、FG、BD三線共點(diǎn). (1)解 ∵==2,∴EF∥AC, ∴EF∥平面ACD,而EF?平面EFGH, 平面EFGH∩平面ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴==3. ∴AH∶HD=3∶1. (2)證明 ∵EF∥GH,且=,=, ∴EF≠GH,∴EFGH為梯形. 令EH∩FG=P,則P∈EH,而EH?平面ABD, 又P∈FG,F(xiàn)G?平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三線共點(diǎn). 10.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA

25、⊥ 底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn). (1)求四棱錐O-ABCD的體積; (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大?。? 解 (1)由已知可求得,正方形ABCD的面積S=4, 所以,四棱錐O-ABCD的體積V=×4×2=. (2)連接AC,設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E,連接ME,DE, 則∠EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補(bǔ)角), 由已知,可得DE=,EM=,MD=, ∵()2+()2=()2, ∴△DEM為直角三角形, ∴tan∠EMD===. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:30分鐘) 1. l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列

26、命題正確的是 (  ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共點(diǎn)?l1,l2,l3共面 答案 B 解析 當(dāng)l1⊥l2,l2⊥l3時(shí),l1與l3也可能相交或異面,故A不正確;l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,故B正確;當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí),l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故C不正確;l1,l2,l3共點(diǎn)時(shí),l1,l2,l3未必共面,如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱,故D不正確. 2. 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖,G、H、M、N 分

27、別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中, ①GH與EF平行; ②BD與MN為異面直線; ③GH與MN成60°角; ④DE與MN垂直. 以上四個(gè)命題中,正確命題的序號是________. 答案?、冖邰? 解析 還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成 60°角,DE⊥MN. 3. (2012·四川)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是棱 CD、CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是 ________. 答案 90° 解析 如圖,取CN的中點(diǎn)K,連接MK,則

28、MK為△CDN的中位線, 所以MK∥DN. 所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角. 連接A1C1,AM.設(shè)正方體棱長為4, 則A1K==, MK=DN==, A1M==6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°. 4. 如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心, H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn).求證:D1、H、O三點(diǎn)共線. 證明 連接BD,B1D1, 則BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1,∴四邊形BB1D1D為平行四邊形,又 H∈B1D, B1D?平面BB1D1D, 則H∈平面BB1D1D, ∵平面

29、ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三點(diǎn)共線. 5. 如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC, DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角 的余弦值. 解 取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF, 在△ACD中,E、F分別是AD、AC的中點(diǎn), ∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角. 在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=, ∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=, ∴EF=. 在Rt△BAF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.

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