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1、 精品資料
第4講 平面向量應(yīng)用舉例
一、選擇題
1.△ABC的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列,且(+)=0,則△ABC一定是( ).
A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形
C.等邊三角形 D.鈍角三角形
解析 △ABC中BC邊的中線又是BC邊的高,故△ABC為等腰三角形,又A,B,C成等差數(shù)列,故B=.
答案 C
2. 半圓的直徑AB=4,O為圓心,C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC的中點(diǎn),則(+)的值是( )
A.-2
B.-1
C.2
D.
2、無法確定,與C點(diǎn)位置有關(guān)
解析 (+)=2=-2.
答案 A
3. 函數(shù)y=tanx-的部分圖象如圖所示,則(+)= ( ).
A.4 B.6
C.1 D.2
解析 由條件可得B(3,1),A(2,0),
∴(+)=(+)(-)=2-2=10-4=6.
答案 B
4.在△ABC中,∠BAC=60,AB=2,AC=1,E,F(xiàn)為邊BC的三等分點(diǎn),則=( ).
A. B. C. D.
解析 法一 依題意,不妨設(shè)=E,=2,
則有-=(-),即=+;
-=2(-),即=+.
所以=
=(2+)(+2)
=(22+22+5
3、)
=(222+212+521cos 60)=,選A.
法二 由∠BAC=60,AB=2,AC=1可得∠ACB=90,
如圖建立直角坐標(biāo)系,則A(0,1),E,F(xiàn),
∴==+(-1)(-1)=+1=,選A.
答案 A
5.如圖所示,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且=x,=y(tǒng),則的值為( ).
A.3 B. C.2 D.
解析 (特例法)利用等邊三角形,過重心作平行于底邊BC的直線,易得=.
答案 B
6.△ABC的外接圓圓心為O,半徑為2,++=0,且||=||,則在方向上的投影
4、為 ( ).
A.1 B.2 C. D.3
解析 如圖,由題意可設(shè)D為BC的中點(diǎn),由++=0,得+2=0,即=2,∴A,O,D共線且||=2||,又O為△ABC的外心,
∴AO為BC的中垂線,
∴||=||=||=2,||=1,
∴||=,∴在方向上的投影為.
答案 C
二、填空題
7. △ABO三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),滿足≤0,≥0,則的最小值為________.
解析 ∵=(x-1,y)(1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1,
∵=(x,y-2)(0,2)=2(y
5、-2)≥0,∴y≥2.
∴=(x,y)(-1,2)=2y-x≥3.
答案 3
8.已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為.以a,b為鄰邊作平行四邊形,則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條的長(zhǎng)度為________.
解析 ∵|a+b|2-|a-b|2=4ab=4|a||b|cos=4>0,
∴|a+b|>|a-b|,又|a-b|2=a2+b2-2ab=3,∴|a-b|=.
答案
9.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,則9x+3y的最小值為________.
解析 若a⊥b,則4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.
9x+3y=3
6、2x+3y≥2=2=6.
當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=1時(shí)取得最小值.
答案 6
10.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+abx在R上有極值,則a與b的夾角范圍為________.
解析 由題意得:f′(x)=x2+|a|x+ab必有可變號(hào)零點(diǎn),即Δ=|a|2-4ab>0,即4|b|2-8|b|2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所以a與b的夾角范圍為.
答案
三、解答題
11.已知A(2,0),B(0,2),C(cos θ,sin θ),O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(1) =-,求sin 2θ的值.
(2)若|+|=,且θ∈(-π,0),求與的夾
7、角.
解 (1) =(cos θ,sin θ)-(2,0)
=(cos θ-2,sin θ)
=(cos θ,sin θ)-(0,2)=(cos θ,sin θ-2).
=cos θ(cos θ-2)+sin θ(sin θ-2)
=cos2θ-2cos θ+sin2θ-2sin θ
=1-2(sin θ+cos θ)=-.
∴sin θ+cos θ=,
∴1+2sin θcos θ=,
∴sin 2θ=-1=-.
(2)∵=(2,0),=(cos θ,sin θ),
∴+=(2+cos θ,sin θ),
∴|+|==.
即4+4cos θ+cos2θ+sin2θ
8、=7.
∴4cos θ=2,即cos θ=.
∵-π<θ<0,∴θ=-.
又∵=(0,2),=,
∴cos 〈,〉===-.
∴〈,〉=.
12.已知A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若=-1,求的值.
解 (1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),
∴2=(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α,
2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α,
由||=||,可得2=2,
即10-6cos α=10-6sin α,得
9、sin α=cos α.
又α∈,∴α=.
(2)由=-1,
得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
∴sin α+cos α=.①
又==2sin αcos α.
由①式兩邊分別平方,得1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=-.
∴=-.
13.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0).
(1)若x=,求向量a與c的夾角;
(2)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)=2ab+1的最大值,并求此時(shí)x的值.
解 (1)設(shè)a與c夾角為θ,當(dāng)x=時(shí),a=,
cos θ==
=-.∵θ∈
10、[0,π],∴θ=.
(2)f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin,
∵x∈,∴2x-∈,
故sin∈,∴當(dāng)2x-=,
即x=時(shí),f(x)max=1.
14.已知向量m=,
n=.
(1)若mn=1,求cos的值;
(2)記f(x)=mn,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cos B=bcos C,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
解 (1)mn=sin cos +cos2
=sin +=sin+,
∵mn=1,∴sin=.
cos=1-2sin2=,
cos=-cos=-.
(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.
∴2sin Acos B=sin(B+C).
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0.
∴cos B=,∵0<B<π,∴B=,∴0<A<.
∴<+<,sin∈.
又∵f(x)=sin+,∴f(A)=sin+.
故函數(shù)f(A)的取值范圍是.