6、0).
5. 河水的流速為2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?,則小船的靜水速度大小為________.
答案 2 m/s
解析 如圖所示小船在靜水中的速度為
=2 m/s.
題型一 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用
例1 如圖所示,四邊形ABCD是正方形,P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)(不包
括端點(diǎn)),E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,且四邊形PFCE是矩形,試用
向量法證明:PA=EF.
思維啟迪 正方形中有垂直關(guān)系,因此考慮建立平面直角坐標(biāo)系,求
出所求線段對(duì)應(yīng)的向量,根據(jù)向量知識(shí)證明.
證明 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,DP
=
7、λ(0<λ<),
則A(0,1),P(λ,λ),
E(1,λ),F(xiàn)(λ,0),
∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),
∴||= =,
||= =,
∴||=||,即PA=EF.
思維升華 用向量方法解決平面幾何問(wèn)題可分三步:
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;
(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
(1)平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)=a,=b,則△OAB的面積等于
( )
A.
B.
C.
D.
(2)在△ABC中,已知向量
8、與滿足=0且=,則△ABC為
( )
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形
答案 (1)C (2)A
解析 (1)∵cos∠BOA=,
則sin∠BOA= ,
∴S△OAB=|a||b|
=.
(2)因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿足=0,所以∠BAC的平分線垂直于BC,所以AB=AC.
又cos∠BAC==,所以∠BAC=.
所以△ABC為等邊三角形.
題型二 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用
例2 已知在銳角△ABC中,兩向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin
9、A),且p與q是共線向量.
(1)求A的大??;
(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos取最大值時(shí),B的大?。?
思維啟迪 向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡(jiǎn)單的組合.如本題中的條件通過(guò)向量給出,根據(jù)向量的平行得到一個(gè)等式.因此這種題目較為簡(jiǎn)單.
解 (1)∵p∥q,
∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0,
∴sin2A=,sin A=,
∵△ABC為銳角三角形,∴A=60.
(2)y=2sin2B+cos
=2sin2B+cos
=2sin2B+cos(2B-60)
=1-cos 2B+cos(2B-60)
=1-co
10、s 2B+cos 2Bcos 60+sin 2Bsin 60
=1-cos 2B+sin 2B=1+sin(2B-30),
當(dāng)2B-30=90,即B=60時(shí),函數(shù)取最大值2.
思維升華 解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的關(guān)鍵,準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決.
△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,則角B的大小為________.
答案
解析 ∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,又∵==,
則化簡(jiǎn)得
11、a2+c2-b2=-ac,
∴cos B==-,∵0
12、上,其方程為+=1.
(2)∵=+,=+,
又+=0.
∴=2-2
=x2+(y-1)2-1
=16(1-)+(y-1)2-1
=-y2-2y+16
=-(y+3)2+19.
∵-2≤y≤2.
∴當(dāng)y=-3時(shí),的最大值為19,
當(dāng)y=2時(shí),的最小值為12-4.
綜上:的最大值為19;
的最小值為12-4.
思維升華 平面向量與平面解析幾何交匯的題目,涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算,數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問(wèn)題,解決此類問(wèn)題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手,這也是解決解析幾何問(wèn)題的基本方法——坐標(biāo)法.
已知點(diǎn)P(0,-3),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)Q在y軸的正半軸
13、上,點(diǎn)M滿足=0,=-,當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
解 設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn),
設(shè)A(a,0),Q(0,b)(b>0),
則=(a,3),
=(x-a,y),=(-x,b-y),
由=0,得a(x-a)+3y=0. ①
由=-,
得(x-a,y)=-(-x,b-y)
=(x,(y-b)),
∴∴
把a(bǔ)=-代入①,得-(x+)+3y=0,
整理得y=x2(x≠0).
題型四 平面向量在物理中的應(yīng)用
例4 在長(zhǎng)江南岸渡口處,江水以 km/h的速度向東流,渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江,則航向?yàn)開______
14、_.
思維啟迪 題中涉及的三個(gè)速度(向量):江水速度、渡船的速度、船實(shí)際過(guò)江的速度,三個(gè)速度的關(guān)系是本題的核心.
答案 北偏西30
解析 如圖所示,渡船速度為,水流速度為,
船實(shí)際垂直過(guò)江的速度為,
依題意知||=,||=25.
∵=+,∴=+2,
∵⊥,∴=0,
∴25cos(∠BOD+90)+()2=0,
∴cos(∠BOD+90)=-,∴sin∠BOD=,
∴∠BOD=30,∴航向?yàn)楸逼?0.
思維升華 在使用向量解決物理問(wèn)題時(shí)要注意:
(1)認(rèn)真分析物理問(wèn)題,深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;
(2)通過(guò)抽象、概括,把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問(wèn)題;
(3)
15、利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問(wèn)題,并獲得這個(gè)向量的解;
(4)利用這個(gè)結(jié)果,對(duì)原物理現(xiàn)象作出合理解釋,即用向量知識(shí)圓滿解決物理問(wèn)題.
質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成60角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2和4,則F3的大小為________.
答案 2
解析 方法一 由已知條件F1+F2+F3=0,
則F3=-F1-F2,F(xiàn)=F+F+2|F1||F2|cos 60=28.
因此,|F3|=2.
方法二 如圖,||2=|F1|2+
|F2|2-2|F1||F2|cos 60=12,
則||2+||2=||2,
即∠OF1F2
16、為直角,
|F3|=2 =2.
高考中以向量為背景的創(chuàng)新題
典例:(1)(5分)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β,定義α°β=.若兩個(gè)非零的平面向量a,b滿足a與b的夾角θ∈(,),且a°b和b°a都在集合{|n∈Z}中,則a°b等于( )
A. B. C.1 D.
思維啟迪 先根據(jù)定義表示出a°b和b°a,利用其屬于集合{|n∈Z},將其表示成集合中元素的形式,兩式相乘即可表示出cos θ,然后利用θ∈(,)確定cos θ的取值范圍,結(jié)合集合中n∈Z的限制條件即可確定n的值,從而求出a°b的值.
解析 根據(jù)新定義,得a°b===cos θ,b°a==
17、=cos θ.
又因?yàn)閍°b和b°a都在集合{|n∈Z}中,設(shè)a°b=,b°a=(n1,n2∈Z),那么(a°b)(b°a)=cos2θ=,
又θ∈(,),所以0
18、(x)的解析式.
解析 設(shè)Q(c,d),由新的運(yùn)算可得
=m?+n=(2x,sin x)+(,0)
=(2x+,sin x),
由消去x得d=sin(c-),
所以y=f(x)=sin(x-),
易知y=f(x)的值域是.
答案
溫馨提醒 解答創(chuàng)新型問(wèn)題,首先需要分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚,然后應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中,這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在.
方法與技巧
1. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái),這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提,運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題.
2. 以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、
19、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問(wèn)題的一般方法.
3. 向量的兩個(gè)作用:①載體作用:關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題;②工具作用:利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.
失誤與防范
1. 注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系,兩者并不等價(jià).
2. 注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系;兩向量a,b夾角為銳角和ab>0不等價(jià).
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:40分鐘)
一、選擇題
1. 已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若=λ+,其中λ∈R,則點(diǎn)P一定在( )
A.△ABC
20、的內(nèi)部 B.AC邊所在直線上
C.AB邊所在直線上 D.BC邊所在直線上
答案 B
解析 由題意知:-=λ,
即+=λ,∴=λ,即與共線,
∴點(diǎn)P在AC邊所在直線上.
2. 在△ABC中,(+)=||2,則△ABC的形狀一定是 ( )
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 C
解析 由(+)=||2,
得(+-)=0,
即(++)=0,2=0,
∴⊥,∴A=90.
又根據(jù)已知條件不能得到||=||,
故△ABC一定是直角三角形.
3. 已知|a|=2|b|,|b|≠0且關(guān)于x
21、的方程x2+|a|x-ab=0有兩相等實(shí)根,則向量a與b的夾角是 ( )
A.- B.- C. D.
答案 D
解析 由已知可得Δ=|a|2+4ab=0,
即4|b|2+42|b||b|cos θ=0,
∴cos θ=-,又∵0≤θ≤π,∴θ=.
4. 已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足=x2,則點(diǎn)P的軌跡是 ( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
答案 D
解析?。?-2-x,-y),=(3-x,-y),
∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6.
5.
22、 若函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所
示,M,N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),且=0(O為坐標(biāo)
原點(diǎn)),則A等于 ( )
A. B.π C.π D.π
答案 B
解析 由題意知M(,A),N(π,-A),
又=π-A2=0,
∴A=π.
二、填空題
6. (2013天津)在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60,E為CD的中點(diǎn).若=1,則AB的長(zhǎng)為________.
答案
解析 在平行四邊形ABCD中,取AB的中點(diǎn)F,則=,
∴==-,又=+,
∴=(+)(-)
23、=2-+-2
=||2+||||cos 60-||2
=1+||-||2=1.
∴||=0,又||≠0,∴||=.
7. 已知三個(gè)力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,再加上一個(gè)力f4,則f4=________.
答案 (1,2)
解析 由物理知識(shí)知:f1+f2+f3+f4=0,
故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).
8. 已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足不等式0≤≤1,0≤≤1,則z=的最大值為________.
答案 3
解析 =
24、(x,y),=(1,1),=(0,1),
∴=x+y,=y(tǒng),
即在條件下,求z=2x+3y的最大值,由線性規(guī)劃知識(shí),當(dāng)x=0,y=1時(shí),zmax=3.
三、解答題
9. 已知△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),且AE=2EB,求證:AD⊥CE.
證明 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
設(shè)A(a,0),則B(0,a),E(x,y).
∵D是BC的中點(diǎn),∴D(0,).
又∵=2,即(x-a,y)=2(-x,a-y),
∴解得x=,y=a.
∵=(0,)-(a,0)=(-a,),
==(,a),
∴=-a+a
=-a2+a2=0.
∴⊥,即AD⊥
25、CE.
10.已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),其α∈(,).
(1)若||=||,求角α的值.
(2)若=-1,求tan(α+)的值.
解 (1)∵=(cos α-3,sin α),
=(cos α,sin α-3),
∴||=
=,
||=.
由||=||得sin α=cos α,
又α∈(,),∴α=π.
(2)由=-1,
得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
∴sin α+cos α=,∴sin(α+)=>0.
由于<α<,
∴<α+<π,∴cos(α+)=-.
故ta
26、n(α+)=-.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:30分鐘)
1. (2013浙江)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有≥,則 ( )
A.∠ABC=90 B.∠BAC=90
C.AB=AC D.AC=BC
答案 D
解析 設(shè)BC中點(diǎn)為M,
則=2-2
=2-2,
同理=2-2,
∵≥恒成立,
∴||≥||恒成立.
即P0M⊥AB,
取AB的中點(diǎn)N,又P0B=AB,
則CN⊥AB,∴AC=BC.故選D.
2. 已知在△ABC中,=a,=b,ab<0,S△ABC=,|a|=3,|
27、b|=5,則∠BAC=________.
答案 150
解析 ∵<0,∴∠BAC為鈍角,
又S△ABC=|a||b|sin∠BAC=.
∴sin∠BAC=,∴∠BAC=150.
3. 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為________.
答案 5
解析 方法一 以D為原點(diǎn),分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立
如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,DP=x.
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
=(2,-x),=(1,a-x),
∴+3=(5,3a-4x)
28、,
|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,
∴|+3|的最小值為5.
方法二 設(shè)=x(0
29、OC=.
又因?yàn)椤螦OB=,所以與的夾角為.
(2)=(cos α-2,sin α),=(cos α,sin α-2).
因?yàn)椤?,所以?,
所以cos α+sin α=, ①
所以(cos α+sin α)2=,所以2sin αcos α=-.
又因?yàn)棣痢?0,π),所以α∈(,π).
因?yàn)?cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,cos α-sin α<0,
所以cos α-sin α=-. ②
由①②得cos α=,sin α=,
所以tan α=-.
5. 如圖所示,已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x
30、=-1,P為平面上的一動(dòng)點(diǎn),
過(guò)P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且=.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn),交直線l于點(diǎn)M.已知
=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值.
解 (1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(-1,y),
由=,得
(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化簡(jiǎn)得P的軌跡C的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m≠0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-),
聯(lián)立方程消去x,得
y2-4my-4=0,Δ=(-4m)2+16>0,
故
由=λ1,=λ2,得
y1+=-λ1y1,y2+=-λ2y2,整理,得
λ1=-1-,λ2=-1-,
所以λ1+λ2=-2-(+)=-2-
=-2-=0.