高考數(shù)學浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理和余弦定理

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1、 精品資料 第6講 正弦定理和余弦定理 一、選擇題 1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A．135° B．105° C．45° D．75° 解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由題知，BC＜AB，∴A＝45°. 答案　C 2．已知a，b，c是△ABC三邊之長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為(　　)． A．60

2、° B．90° C．120° D．150° 解析　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab， ∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C， ∴cos C＝－，∴C＝120°. 答案　C 3．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a＝1，b＝，則S△ABC＝ (　　)． A. B. C. D．2 解析　∵A，B，C成等差數(shù)列，∴A＋C＝2B，∴B＝60

3、76;. 又a＝1，b＝，∴＝， ∴sin A＝＝×＝， ∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝. 答案　C 4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　設AB＝c，BC邊上的高為h. 由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，即 c2－2c－3＝0，∴c＝3(負值舍去)． 又h＝c·sin 60°＝3×

4、＝，故選B. 答案　B 5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，則滿足此條件的三角形個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個 解析 直接根據(jù)正弦定理可得＝，可得sin B＝＝＝>1，沒有意義，故滿足條件的三角形的個數(shù)為0. 答案 A 6．已知△ABC的面積為，AC＝，∠ABC＝，則△ABC的周長等于

5、 (　　)． A．3＋ B．3 C．2＋ D. 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面積為acsin ＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故選A. 答案　A 二、填空題 7．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45°，則AD的長度等于________． 解析　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝， ∴AD＝×＝. 答案　 8

6、．已知△ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為________． 解析　依題意得，△ABC的三邊長分別為a，a,2a(a>0)，則最大邊2a所對的角的余弦值為：＝－. 答案?。? 9．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所對的邊a，b，c滿足a＋b＝cx，則實數(shù)x的取值范圍是________． 解析　x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.又A∈，∴<A＋<，∴<sin≤1，即x∈(1，]． 答案　(1，] 10．若AB＝2，AC＝BC，則S△ABC的最大值________． 解析　(數(shù)形結合法)因為AB＝2(定長)，可以令A

7、B所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0)，設C(x，y)，由AC＝BC， 得 ＝ ，化簡得(x－3)2＋y2＝8， 即C在以(3,0)為圓心，2為半徑的圓上運動， 所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|≤2，故答案為2. 答案　2 三、解答題 11．敘述并證明余弦定理． 解　余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍．或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos

8、C， 法一　如圖(1)， 圖(1) a2＝· ＝(－)·(－) ＝2－2·＋2 ＝2－2||·||cos A＋2 ＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 法二　 圖(2) 已知△ABC中A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖(2)則C(bcos A，bsin A)，B(c,0)， ∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2 ＝b2cos

9、2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 12．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝ ，求△ABC的面積． 解　(1)因為0＜A＜π，cos A＝， 得sin A＝ ＝. 又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝cos C＋sin C. 所以tan C＝. (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C

10、＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝ 及正弦定理＝，得c＝ . 設△ABC的面積為S，則S＝acsin B＝. 13． 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(a，b)在直線x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上． (1)求角C的值； (2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面積． 解　(1)由題意得a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C， 由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2， 即a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理，得cos C＝＝， 結合0<C<π，得C＝. (2)由a2＋b2＝

11、6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0， 從而得a＝b＝3， 所以△ABC的面積S＝×32×sin ＝. 14． 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝ ，求△ABC的面積． (1)證明　由bsin－csin＝a應用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A， sin B－sin C＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1. 由于0＜B，C＜π，從而B－C＝. (2)解　B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝. 由a＝ ，A＝， 得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ， 所以△ABC的面積S＝bcsin A＝ sinsin ＝ cossin＝.