《新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
【導(dǎo)與練】(新課標(biāo))20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理
【選題明細(xì)表】
知識點(diǎn)、方法
題號
公式法、分組法求和
1、6、7、11
并項(xiàng)法求和
2、5
裂項(xiàng)相消法求和
8、12
錯(cuò)位相減法求和
4、15、16
數(shù)列的綜合問題
3、10、13、15、16
數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
9、14
基礎(chǔ)過關(guān)
一、選擇題
1.數(shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為( C )
(A)1+2n (B)2+2n
(C)n+2n-1 (D)n+2+2n
解析:由題意令an=1+2n-1,
所以Sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故
2、選C.
2.已知函數(shù)f(n)=n2(n為奇數(shù)),-n2(n為偶數(shù)),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( B )
(A)-100 (B)100 (C)-1020 (D)1020
解析:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=n2-(n+1)2=-(2n+1).
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=-n2+(n+1)2=2n+1.
∴a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+9-…-199+201
=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)
=250=100.
3.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=f(n+1)+f(n),n∈N*,記數(shù)列{1an
3、}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=10時(shí),n的值是( B )
(A)10 (B)120 (C)130 (D)140
解析:∵冪函數(shù)f(x)=xα過點(diǎn)(4,2),
∴4α=2,
∴α=12,f(x)=x12,
∴an=f(n+1)+f(n)=n+1+n,
∴1an=1n+1+n=n+1-n.
∴Sn=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)
=n+1-1.
又Sn=10,
∴n+1-1=10,
∴n=120.故選B.
4.Sn=12+12+38+…+n2n等于( B )
(A)2n-n2n (B)2n+1-n-22n
(C)2n-n+12n+1 (D)2n+1-n+22n
4、
解析:由Sn=12+222+323+…+n2n, ①
得12Sn=122+223+…+n-12n+n2n+1, ②
①-②得,
12Sn=12+122+123+…+12n-n2n+1
=121-12n1-12-n2n+1,
∴Sn=2n+1-n-22n.
5.數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=sin nπ3,前n項(xiàng)和為Sn,則S20xx等于( B )
(A)12 (B)0 (C)1 (D)-12
解析:由an=sin nπ3,知數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列,且a1+a2+…+a6=0,
則S20xx=(a1+a2+…+a6)+…+(a2005+…+a20xx)
5、+a20xx+…+a20xx=a1+a2+…+a5=0.
故選B.
6.數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n項(xiàng)和Sn>1020,那么n的最小值是( D )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
解析:an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(21+22+…+2n)-n
=2n+1-n-2.
∴S9=1013<1020,S10=2036>1020.
∴Sn>1020,n的最小值是10.
二、填空題
7.數(shù)列32,94,258,6516,…,n2n+12n的前n項(xiàng)和為 .
6、
解析:由于an=n2n+12n=n+12n,
∴前n項(xiàng)和Sn=1+121+2+122+3+123+…+n+12n
=(1+2+3+…+n)+(12+122+123+…+12n)
=(n+1)n2+121-12n1-12
=n(n+1)2-12n+1.
答案:n(n+1)2-12n+1
8.若已知數(shù)列的前四項(xiàng)是112+2、122+4、132+6、142+8,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和為 .
解析:因?yàn)橥?xiàng)an=1n2+2n=121n-1n+2,
所以此數(shù)列的前n項(xiàng)和
Sn=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)]
7、=121+12-1n+1-1n+2
=34-2n+32(n+1)(n+2).
答案:34-2n+32(n+1)(n+2)
9.(20xx高考江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于 .
解析:本題是等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用題,
設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an},
由題意可知它是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為2,公比為2,
所以由題意可得2(1-2n)1-2≥100,
即2n≥51,
而25=32,26=64,n∈N*,
所以n≥6.
答案:6
10.(20xx廣東揭陽模擬)對于每一個(gè)
8、正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn+1在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lg xn,則a1+a2+…+a99= .
解析:對y=xn+1求導(dǎo)得y′=(n+1)xn,則曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,得xn=nn+1,則an=lg xn=lg nn+1,
所以a1+a2+…+a99=lg(1223…99100)
=lg 1100
=-2.
答案:-2
三、解答題
11.(20xx四川成都石室中學(xué)模擬)設(shè){an}是公差大于零的等差數(shù)列,已知a1=2,a3=a22-10.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè){bn}
9、是以函數(shù)y=4sin2πx的最小正周期為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列{an-bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)設(shè){an}的公差為d,且d>0,則
a1=2,a1+2d=(a1+d)2-10.
解得d=2.
所以an=2+(n-1)2=2n.
(2)∵y=4sin2πx=41-cos2πx2=-2cos 2πx+2
其最小正周期為2π2π=1,故{bn}首項(xiàng)為1;
因?yàn)楣葹?,從而bn=3n-1.
所以an-bn=2n-3n-1.
故Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1)
=(2+2n)n2-1-3n1-3
=n2+n+12-123n.
12.(
10、20xx高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{1a2n-1a2n+1}的前n項(xiàng)和.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.
解得a1=1,d=-1.
故{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.
(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)
=12(12n-3-12n-1),
從而數(shù)列{1a2n-1a2n+1}的前n項(xiàng)和為
12(1-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1)=n1-2n.
能力提升
13.(20
11、xx山東菏澤模擬)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1n(n+1),其前n項(xiàng)和為910,則在平面直角坐標(biāo)系中,直線(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為( B )
(A)-10 (B)-9 (C)10 (D)9
解析:∵an=1n(n+1)=1n-1n+1,
∴Sn=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)
=1-1n+1=nn+1,
由nn+1=910得n=9,
∴直線方程為10x+y+9=0,其在y軸上的截距為-9.
14.某林場年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增長率生長,而每年年末要砍伐固定的木材量為x m3,為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材存量增加50%
12、,則x的值為( C )
(A)S32 (B)S34 (C)S36 (D)S38
解析:第一次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x=(54S-x)m3;第二次砍伐后木材的存量為[S(1+25%)-x](1+25%)-x=[(54)2S-54x-x]m3,所以(54)2S-54x-x=S(1+50%),解得x=S36.
15.(20xx陜西商洛一模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=12.
(1)當(dāng)n∈N*時(shí),求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2;
(3)設(shè)bn=(9-n)f(n+1)f(n),n∈
13、N*,Sn為{bn}的前n項(xiàng)和,當(dāng)Sn最大時(shí),求n的值.
(1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1)=12f(n),
∴{f(n)}是首項(xiàng)為12,公比為12的等比數(shù)列,
∴f(n)=(12)n.
(2)證明:設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和,
∵an=nf(n)=n(12)n,
∴Tn=12+2(12)2+3(12)3+…+n(12)n,
12Tn=(12)2+2(12)3+3(12)4+…+(n-1)(12)n+n(12)n+1,
兩式相減得12Tn=12+(12)2+…+(12)n-n(12)n+1,
∴Tn=2-(12)n-1-n(12)n<2.
(3)解
14、:∵f(n)=(12)n,
∴bn=(9-n)f(n+1)f(n)=(9-n)(12)n+1(12)n=9-n2,
∴當(dāng)n≤8時(shí),bn>0;
當(dāng)n=9時(shí),bn=0;
當(dāng)n>9時(shí),bn<0.
∴當(dāng)n=8或9時(shí),Sn取得最大值.
探究創(chuàng)新
16.(20xx高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-1ln2,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:
15、(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=42a7=2a7+2,則a8=a7+2,
解得d=a8-a7=2.
所以,Sn=na1+n(n-1)2d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)由f(x)=2x,f′(x)=2xln 2,
過點(diǎn)(a2,b2),即(a2,2a2),
斜率為 2a2ln 2,則
函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為
y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),
它在x軸上的截距為a2-1ln2.
由題意,a2-1ln2=2-1ln2,
解得a2=2.
所以,d=a2-a1=1.
從而an=n,bn=2n,
所以Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n,
2Tn=11+22+322+…+n2n-1.
因此,2Tn-Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=2-12n-1-n2n=2n+1-n-22n.
所以,Tn=2n+1-n-22n.