《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第2講4 漸開(kāi)線與擺線 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第2講4 漸開(kāi)線與擺線 Word版含解析（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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四 漸開(kāi)線與擺線
1．借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開(kāi)線)，了解平擺線和漸開(kāi)線的生成過(guò)程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程．(重點(diǎn))
2．通過(guò)閱讀材料，了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開(kāi)線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過(guò)程；了解擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例．(難點(diǎn))
[基礎(chǔ)·初探]
教材整理1 漸開(kāi)線及其參數(shù)方程
閱讀教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列問(wèn)題．
1．把線繞在圓周上，假設(shè)線的粗細(xì)可以忽略，拉著線頭逐漸展開(kāi)，保持線與圓相切，線頭的軌跡
2、就叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓．
2．設(shè)基圓的半徑為r，圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))．
教材整理2 擺線及其參數(shù)方程
閱讀教材P41～P42，完成下列問(wèn)題．
1．當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一個(gè)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡叫做平擺線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫旋輪線．
2．設(shè)圓的半徑為r，圓滾動(dòng)的角為φ，那么擺線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))．
(φ為參數(shù))表示的是( )
A．半徑為5的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程
B．半徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程
C．直徑為5的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程
D．直徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程
【解析】 根據(jù)圓的漸開(kāi)線與擺線的參數(shù)方程可知B正確
3、．
【答案】 B
[質(zhì)疑·手記](méi)
預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：
疑問(wèn)1：
解惑：
疑問(wèn)2：
解惑：
4、
疑問(wèn)3：
解惑：
圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程
已知圓的直徑為2，其漸開(kāi)線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點(diǎn)的距離.
【思路探究】 先寫(xiě)出圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程，再把A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對(duì)應(yīng)的A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后使用兩點(diǎn)之間的距離公式可得A，B之間的距離．
【自主解答】 根據(jù)條件可知圓
5、的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，
分別把φ＝和φ＝代入，
可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
A，B.
那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、B兩點(diǎn)的距離為|AB|＝
＝.
即A、B兩點(diǎn)之間的距離為
.
根據(jù)漸開(kāi)線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的字母r是指基圓的半徑，參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角．
[再練一題]
1．當(dāng)φ＝，時(shí)，求出漸開(kāi)線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，并求出A，B的距離．
【解】 將φ＝代入?yún)?shù)方程，得
把φ＝代入方程，得
∴A，點(diǎn)B.
因此|AB|＝＝2，
故點(diǎn)A，B間的距離為2.
圓的擺線的參數(shù)方程
6、 已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫(xiě)出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．
【思路探究】 根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只需把點(diǎn)(2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開(kāi)線的參數(shù)方程即可．
【自主解答】 令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r>0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因?yàn)閤＝2，
所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．
又由實(shí)際可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，
7、當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為.
代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為
(φ為參數(shù))
圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為
(φ為參數(shù))．
根據(jù)擺線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開(kāi)的角度．
[再練一題]
2．已知一個(gè)圓的擺線方程是，(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．
【解】 首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知
圓的半徑為4，所以面積為16π，
該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是：
(φ為參數(shù))．
[構(gòu)建·體系]
—
1．關(guān)于漸開(kāi)線和擺線的敘述，正確的是( )
A．只有圓才有漸開(kāi)線
B．漸開(kāi)線和擺線的定義是一
8、樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形
C．正方形也可以有漸開(kāi)線
D．對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫(huà)出的漸開(kāi)線形狀就不同
【解析】 不僅圓有漸開(kāi)線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線；漸開(kāi)線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同．故選C.
【答案】 C
2．圓的漸開(kāi)線(φ為參數(shù))上與φ＝對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
3．圓(θ為參數(shù))的平擺線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)
9、可能是( )
A．π B．3π
C．6π D．10π
【解析】 根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
【答案】 C
4．半徑為4的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是________．
【解析】 由圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程
得(φ為參數(shù))．
【答案】 (φ為參數(shù))
5．給出直徑為6的圓，分別寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程和擺線的參數(shù)方程．
【解】 以圓的圓心為原點(diǎn)，一條半徑所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．又圓的直徑為6，所以半徑為3，所以圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是
(φ為參數(shù)
10、)．
以圓周上的某一定點(diǎn)為原點(diǎn)，以給定定直線所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，∴擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．
我還有這些不足：
(1)
(2)
我的課下提升方案：
(1)
(2)
11、
學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(九)
(建議用時(shí)：45分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，則此漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)的基圓的周長(zhǎng)是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
【解析】 圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，所以基圓的周長(zhǎng)為2π，故選B.
【答案】 B
2．給出下列說(shuō)法：①圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐
12、標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線問(wèn)題；③在求圓的擺線和漸開(kāi)線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開(kāi)線和x軸一定有交點(diǎn)而且是惟一的交點(diǎn)．
其中正確的說(shuō)法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
【解析】?、馘e(cuò)，②正確，對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開(kāi)線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，故③正確，至于漸開(kāi)線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置．故④錯(cuò)誤，故選C.
【答案】 C
3．當(dāng)φ＝2π時(shí)，圓的漸開(kāi)線上的點(diǎn)是( )
A．(6,0) B．(
13、6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
【解析】 當(dāng)φ＝2π時(shí)，代入圓的漸開(kāi)線方程．
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
【答案】 C
4．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中與參數(shù)φ＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為( )
A.－1 B.
C. D.
【解析】 根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得
即A，
∴|AB|＝＝.
【答案】 C
5．已知一個(gè)圓的擺線過(guò)點(diǎn)(1,0)，則擺線
14、的參數(shù)方程為( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 圓的擺線的參數(shù)方程為
令r(1－cos φ)＝0，
得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)
得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(guò)(1,0)．
∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝.
又r＞0，∴k∈N＋.
【答案】 A
二、填空題
6．已知圓的方程為x2＋y2＝4，點(diǎn)P為其漸開(kāi)線上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【解析】 由題意，圓的半徑r＝2，其漸開(kāi)線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．
當(dāng)φ＝時(shí)，x＝π，y＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(π，2)．
【答案】 (π，2)
7．已
15、知平擺線的方程為(α為參數(shù))，則該平擺線的拱高是________，周期是________．
【解析】 由已知方程可化為
知基圓半徑為r＝1，
∴拱高為2r＝2，周期為2π.
【答案】 2 2π
8．漸開(kāi)線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【解析】 根據(jù)圓的漸開(kāi)線方程可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2＋y2＝36，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的方程為2＋y2＝36，整理可得＋＝1，這是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．c＝＝＝6，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)和(－6，0)．
【答案
16、】 (6，0)和(－6，0)
三、解答題
9．已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))和直線l對(duì)應(yīng)的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問(wèn)平移后圓和直線有什么位置關(guān)系？
(2)寫(xiě)出平移后圓的漸開(kāi)線方程．
【解】 (1)圓C平移后圓心為O(0,0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的．
(2)由于圓的半徑是6，所以可得漸開(kāi)線方程是(φ為參數(shù))．
10．有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22 mm，求齒廓線所在的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．
【解】 因?yàn)榛鶊A的直徑為22 mm，所以基圓的半徑為11 mm，因此齒廓線所在的
17、漸開(kāi)線的參數(shù)方程為
(φ為參數(shù))．
[能力提升]
1．如圖241，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開(kāi)線”，其中、、、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長(zhǎng)是( )
圖241
A．3π B．4π
C．5π D．6π
【解析】 根據(jù)漸開(kāi)線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2π，所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π.
【答案】 C
2．我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)
18、互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為_(kāi)_______．
【解析】 關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫(xiě)出擺線方程關(guān)于y＝x對(duì)稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換．
【答案】 (φ為參數(shù))
3．已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【解析】 圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.
【答案】 2
4．如圖242，若點(diǎn)Q在半徑AP上(或在半徑AP的延長(zhǎng)線上)，當(dāng)車輪滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡稱為變幅平擺線，取|AQ|＝或|AQ|＝，請(qǐng)推出Q的軌跡的參數(shù)方程．
圖242
【解】 設(shè)Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
則當(dāng)|AQ|＝時(shí)，
有代入
∴點(diǎn)Q的軌跡的參數(shù)方程為
(θ為參數(shù))．
當(dāng)AQ＝時(shí)，有
代入
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為(θ為參數(shù))．
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