精校版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí)：第四講 二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，且n>1)時(shí)，第一步即證下述哪個(gè)不等式成立(　　) A．1<2　　　　　　 B．1＋<2 C．1＋＋<2 D．1＋<2 解析：∵n∈N＋，且n>1， ∴第一步n＝2，左邊＝1＋＋，右邊＝2， 即1＋＋<2，應(yīng)選C. 答案：C 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：1＋＋＋＋＋…＋＝， n－1＝6，n＝7，故n

2、0＝8. 答案：B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”時(shí)，S1等于(　　) A. B． C. ＋ D．＋＋ 解析：因?yàn)镾1的首項(xiàng)為＝，末項(xiàng)為＝，所以S1＝＋＋，故選D. 答案：D 4．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k<5時(shí)，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)<k2成立

3、D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 解析：由題意設(shè)f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．因此，對(duì)于A，k＝1,2時(shí)不一定成立．對(duì)于B，C顯然錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)閒(4)＝25>42，因此對(duì)于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立． 答案：D 5．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立 解析：與

4、“如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題不成立，則當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，命題也不成立”．故知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，可推得當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立，故選C. 答案：C 6．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可歸納出一般性結(jié)論：________. 解析：由題意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)． 答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋) 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是____

5、____． 答案：＋cos α 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證________． 答案：n＝1時(shí)，22≥12＋1＋2，即4＝4 9．證明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋ )． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即 1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝， 現(xiàn)在只需證明<2， 即證：2<2k＋1， 兩邊平方，整理得0<1，顯然成立． ∴<2成立． 即1＋＋＋…＋＋<2成立．

6、∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)知，對(duì)于任何正整數(shù)n原不等式都成立． 10．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，設(shè)計(jì)算S1，S2，S3，并猜想Sn的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． 解析：∵S1＝＝＝， S2＝＋＝＝， S3＝＋＋＝＝， …… 猜想Sn＝(n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊S1＝＝，右邊＝＝，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 ＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋…＋＋＝＋ ＝＝＝， 這就是說， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由(1)(2)可知， 等式Sn＝對(duì)n∈N＋都成立

7、． [B組　能力提升] 1．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2, 1＋＋＋…＋>，…，由此猜測(cè)第n(n∈N＋)個(gè)不等式為(　　) A．1＋＋＋…＋> B．1＋＋＋…＋> C．1＋＋＋…＋> D．1＋＋＋…＋> 解析：∵1,3,7,15,31，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1， ∴不等式左邊應(yīng)是1＋＋＋…＋. ∵，1，，2，，…的通項(xiàng)公式為bn＝， ∴不等式右邊應(yīng)是. 答案：C 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”時(shí)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等

8、式的左邊(　　) A．增加了一項(xiàng) B．增加了兩項(xiàng)， C．增加了兩項(xiàng)，，又減少了一項(xiàng) D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝＋＋…＋. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋. 故由n＝k到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)． 答案：C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證n＝k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是：＋>＋(　　)>，括號(hào)中應(yīng)填的式子是________． 解析：由>k＋2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k＋2. 答案：k＋2 4．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N

9、的大小關(guān)系為________(提示：利用貝努利不等式，令x＝)． 解析：令x＝，∵M(jìn)＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b， ∴＝(1＋x)n，＝1＋nx. ∵a>0，b>0，∴x>0. 由貝努利不等式得(1＋x)n>1＋nx. ∴>，∴M>N 答案：M>N 5．對(duì)于一切正整數(shù)n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 證明：猜想當(dāng)t＝3時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n使3n>n2成立．下面用數(shù)學(xué)歸納

10、法進(jìn)行證明． 當(dāng)n＝1時(shí)，31＝3>1＝12，命題成立． 假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，3k>k2成立， 則有3k≥k2＋1. 對(duì)n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k >k2＋2(k2＋1)>3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2 ＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0， ∴3k＋1>(k＋1)2， ∴對(duì)n＝k＋1，命題成立． 由上知，當(dāng)t＝3時(shí)，對(duì)一切n∈N＋，命題都成立． 再用數(shù)學(xué)歸納法證明： n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)． 當(dāng)n

11、＝1時(shí)，1×(1＋1)×＝>0＝lg 1，命題成立． 假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)， k·(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)·(k＋2)· ＝k(k＋1)·＋2(k＋1)· >lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1 >lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2 ＝lg[1·2·3·

12、…·k·(k＋1)]，命題成立． 由上可知，對(duì)一切正整數(shù)n，命題成立． 6．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n項(xiàng)和． 求證：≤. 證明：由已知，得Sn＝3n－1， ≤等價(jià)于≤，即3n≥2n＋1.(*) 法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立． ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(*)成立． 綜合①②，得3n≥2n＋1成立． 所以≤. 法二：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以(*)成立． 當(dāng)n≥2時(shí)，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立． 所以≤. 最新精品資料