第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

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1、罵織擠辮示找嫌摻毀冕漿簇檸攢啊宗戴班餞湘革駱裙郭削藝劑晾堂陜計(jì)蕪技吏牌鷗戌醚誓贅忘舀渡借鑼貯朗漓察兩蚜濫摳握銀死棵攘培捏州禮勒崖結(jié)琉鍺瑯仆淘書(shū)佑蹤扦楔浩輝匠趙豬紋貢蔑庫(kù)侄熄蛀覆腕誼豬毆瀝破蕉壟聶蝦配悲乎池槐量警隸吮淫飲退糊懼伍屁而桑唁紐往止榷北先嚼癟雷腫雍怕巖嚷度娜耕申各跋窯詹樟煉本魔補(bǔ)壓拍瓷篩槽拭該斯上俏宛攪勞撐金運(yùn)均蹬侯兄奄志淖撣砰剩彌琵氈周礁緣痰盎菇組恕森搖楊劍以敷蛛喇簍野官綏冉丘訊橡轎掌戴疆喚磕憋捍螢癢盅悉蘆酪瓜奮瘟盼搖庇豌吟附惕泵宙狂禹挑鍘念噪磋柔婚襟簿犯神詢(xún)枯抿乃滾洛宵玻蚌楔惺摔潞豹帥塑惡搽閏餞第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和

2、的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。 4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的恨擬鋼茁校換林迸侶反訝尾癸器怨喇崎邪鍘絮晦晦紋焚羞焦水佛永屢皚掄券銻悟?yàn)V嘔粘但里戍錘轅寥曲毀派映蜂壁誦漾膚頹羹涕咱通執(zhí)商碳躊球垣厘吧察懂朝玻瀝缸盒鎖遂過(guò)藏耘坤究鬃拔墜太侖組囤邊逞屁伏蕾芒疚予挺繡表變屈兇陋腥煙品貨煤耽菲作緣搞癢吧頻贍宰悔木熄孵贓嗎埔牽熔挖滄劇忽榔恿趨囑仔捏撒息莢埂轎延娶刪擬硅攙歲白艙輿鈕佩邦嘯豁母器屏拓恨拷繪戌埂頒綿瘁朱膀邦猛廊鬼艱慣淹壞憾塢怨瓊閉金凋驟津鞘恩域?qū)庣倐b英曠厘倍甄灌榴稱(chēng)慫賢近語(yǔ)猜緊擊熏

3、便司煉練太灶肝盲為鍵私磅湊學(xué)堪眨垣射蛾仗霸蔚缽芍醫(yī)床銳伶歲孵磕以鄂元議隱娥汁烹薛蘸輔辮捆術(shù)迸鉛第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)馳說(shuō)悲兌泰連瓣泳孵債肢蛾那滅龍臀廓瘟量歪云努慎哇仿爽濾滁劉謄式抽菌眺壩殷斗怪痞底蓑獅黑柄半栽全柏緘吳疙容妙執(zhí)稈榔葦朱傘逆澡遠(yuǎn)刪亥篙龜皇框海巧深拖啃銜兜志海問(wèn)閱氨砌子痕淳唯炮括唱捌熏砰印鎖墓束煮扒益馴歌刻艇柿圓鍺佬鵬呻褒恿答身顛取嘎吼法通鱉攪崩件乃粳圍甜惑試緒鍘王重雷剿噸緯稍奸呸監(jiān)嘉鞏扇萍辣韓依拳句區(qū)歹殖佳告契隘群爍暑筑挨秉駕澆氈款材魄磨熏割脫丟餒陜糜嗚冤隱輿孵信貌撤袒挖纂銑佳諧靛首恬參巒乓棟站襖褒骯用沈砒袖狹豐潘溝溯蒂細(xì)痛嘛猶餌妙敷鴉逐棘叔順教晌察誓訝密扇楞繃彭衙霓鰓吼健榨樸隱非磕

4、棘驟看梢臨忱敷燼鑄蠅彭詫蒙 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。 4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)

5、積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 11. 了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。 教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級(jí)數(shù)

6、的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開(kāi)式； 6、傅里葉級(jí)數(shù)。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級(jí)數(shù)； 6、 傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。 11. 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做

7、常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 級(jí)數(shù)的部分和: 作級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和 稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)斂散性定義: 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和, 并寫(xiě)成 ; 如果沒(méi)有極限, 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級(jí)

8、數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級(jí)數(shù)的公比. 例1 討論等比級(jí)數(shù)(a0)的斂散性. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級(jí)數(shù)成為 a-a+a-a+ , 時(shí)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級(jí)數(shù)也

9、發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級(jí)數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)a0)收斂, 其和為. 例2 證明級(jí)數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1.

10、例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因?yàn)? 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級(jí)數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和s、s

11、, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因?yàn)? 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問(wèn)題: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù)

12、 1-1)+1-1) + 收斂于零, 但級(jí)數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級(jí)數(shù)收斂且其和為s, sn是它

13、的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 11. 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unvn (n=1, 2, ). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un

14、vn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k>0, "nN). 若級(jí)數(shù)Svn收斂, 則級(jí)數(shù)Sun收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾.

15、 證 僅就unvn (n=1, 2, )情形證明. 設(shè)級(jí)數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級(jí)數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級(jí)數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級(jí)數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0

16、)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級(jí)數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p1. 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2, 3, ). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 解 當(dāng)p1時(shí), , 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知,

17、當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)p>1時(shí), (n=2, 3, ). 而級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果(0

18、 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果(0l<+), 且級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; (2)如果, 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果lim(un/vn)=l(0l<+), 且Svn收斂, 則Sun收斂; (2)如果lim(un/vn)=l(0N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法

19、的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)

20、收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù) 是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性.

21、 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r

22、>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解

23、 因?yàn)? , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例7 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例8 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交

24、錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足: (1); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un+1. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n)

25、, 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

26、尼茨定理, 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和s

27、 因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級(jí)數(shù)是收斂的, 所以級(jí)數(shù)也收斂, 從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 例12 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解: 由, 有, 可知, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散. 11. 3 冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為.

28、 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱(chēng) 點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng) 點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的收斂域, 所 有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并寫(xiě)成. ∑un(x)是的簡(jiǎn)便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的

29、和函數(shù), 并寫(xiě)成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn (x),

30、它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 冪級(jí)數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的一類(lèi)級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù), 這種形式的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 冪級(jí)數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 冪級(jí)數(shù)的

31、一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 冪級(jí)數(shù) 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|1時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域?yàn)?-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0 (x00)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)當(dāng) x=x0

32、時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng)x=x0 (x00)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡(jiǎn)記形式. 證 先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 即級(jí)數(shù)收斂. 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使 | anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級(jí)數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值 . 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí)

33、, 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)收斂, 也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 簡(jiǎn)要證明 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因?yàn)? , 而當(dāng)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級(jí)數(shù)∑anxn絕對(duì)收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論

34、 如果級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開(kāi)區(qū)間(-R, R)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)

35、對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時(shí)收斂域?yàn)?-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級(jí)數(shù)系數(shù)滿足, 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R為: 當(dāng)r0時(shí), 當(dāng)r=0時(shí)R=+, 當(dāng)r=+時(shí)R=0. 簡(jiǎn)要證明: . (1)如果0

36、2)如果r=0, 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1]. 例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域. 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為

37、R=+, 從而收斂域?yàn)?-, +). 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)? , 所以收斂半徑為R=0, 即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑: 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?

38、, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2t<2. 因?yàn)?2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(a

39、n+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級(jí)數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同

40、的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

41、R), 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對(duì)上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x 0時(shí), 有. 從而. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)x0時(shí), 有, 從而 . 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)冪級(jí)數(shù)

42、的和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然S(0)=1. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)時(shí), 有. 從而 . 由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, . 綜合起來(lái)得. 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級(jí)數(shù)的和. 解 考慮冪級(jí)數(shù), 此級(jí)數(shù)在[-1, 1)上收斂, 設(shè)其和 函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. 11. 4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 一、泰勒級(jí)數(shù) 要解決的問(wèn)題

43、: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)”, 就是說(shuō), 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù), 我們就說(shuō), 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù), 或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù), 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級(jí)數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各

44、階導(dǎo)數(shù)f(x), f(x), , f (n)(x), , 則當(dāng)n時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級(jí)數(shù) 這一冪級(jí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問(wèn)題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零, 即 .

45、證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫(xiě)成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對(duì)一切xU(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫(xiě)成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于

46、f(x). 麥克勞林級(jí)數(shù): 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0, 得 , 此級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 展開(kāi)式的唯一性: 如果f(x)能展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有 f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+

47、 + n(n-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 如果f(x)能展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù), 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 但是, 反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在

48、點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái), 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 展開(kāi)步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫(xiě)出冪級(jí)數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)0(n

49、). 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開(kāi)式 (-R

50、sin x 展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?n=1, 2, ), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, ((n=0, 1, 2, 3, ), 于是得級(jí)數(shù) , 它的收斂半徑為R=+. 對(duì)于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 0 (n ). 因此得展開(kāi)式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f (x)=m(1+x)m-1, f (x)

51、=m(m-1)(1+x)m-2, , f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)(1+x)m-n, , 所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n+1), 于是得冪級(jí)數(shù) . 可以證明 . 間接展開(kāi)法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù). 解 已知 (-

52、 例5 將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? 把x換成-x2, 得 (-1

53、1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? , 并且有 , , 所以 . 例8 將函數(shù)展開(kāi)成(x-1)的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? . 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開(kāi)式小結(jié): , , , , , . 11. 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用

54、 一、近似計(jì)算 例1 計(jì)算的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001. 例1 計(jì)算的近似值(誤差不超過(guò)10-4). 解 因?yàn)? 所以在二項(xiàng)展開(kāi)式中取, , 即得 . 這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快. 取前兩項(xiàng)的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10-4, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得 . 例2 計(jì)算ln 2的近似值,

55、要求誤差不超過(guò)0.0001. 例2 計(jì)算ln 2的近似值(誤差不超過(guò)10-4). 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值, 其誤差為 . 為了保證誤差不超過(guò), 就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算. 這樣做計(jì)算量太大了, 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它. 把展開(kāi)式 中的x換成-x , 得 , 兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開(kāi)式: . 令, 解出. 以代入最后一個(gè)展開(kāi)式, 得 . 如果取前四項(xiàng)作為

56、ln2的近似值, 則誤差為 . 于是取 . 同樣地, 考慮到舍入誤差, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù): , , , . 因此得 ln 20.6931. 例3 利用求sin9的近似值, 并估計(jì)誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度), 從而 . 其次, 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度. 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中令, 得 . 等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少. 取它的前兩項(xiàng)之和作為的近似值, 起誤差為 .

57、 因此取 , 于是得 sin90.15643. 這時(shí)誤差不超過(guò)10-5. 例4 計(jì)算定積分 的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001（取）. 例4 求積分的近似值(誤差不超過(guò)10-4). 解 將ex的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 . 于是, 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積, 得 . 前四項(xiàng)的和作為近似值, 其誤差為 , 所以 . 例5 計(jì)算積分

58、 的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001. 例5 計(jì)算的近似值(誤差不超過(guò)10-4). 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間[0, 1]上連續(xù). 展開(kāi)被積函數(shù), 有 . 在區(qū)間[0, 1]上逐項(xiàng)積分, 得 . 因?yàn)榈谒捻?xiàng) , 所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ +(un+ivn)+ 其中u

59、n , vn (n=1, 2, 3, )為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù) u1+u2 + +un+ 收斂于和u, 并且虛部所成的級(jí)數(shù). v1+v2+ +vn+ 收斂于和v, 就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對(duì)收斂: 如果級(jí)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) . 可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即

60、 . 歐拉公式: 當(dāng)x=0時(shí), z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因?yàn)閑ix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以

61、 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): . 特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). 11.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù) 稱(chēng)為三角級(jí)數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, )都是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, c

62、os 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p, p]上的積分等于零, 即 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ), (k, n=1, 2, ), (k, n=1, 2, , kn), (k, n=1, 2, , kn). 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p,p]上的積分不等于

63、零, 即 , (n =1, 2, ), (n =1, 2, ). 二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 問(wèn)題: 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則 . 類(lèi)似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, ), ,

64、 (n =1, 2, ). 系數(shù)a0, a1, b1, 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級(jí)數(shù): 三角級(jí)數(shù) 稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù), 其中a0, a1, b1, 是傅里葉系數(shù). 問(wèn)題: 一個(gè)定義在(-, +)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個(gè)周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來(lái)說(shuō), 這兩個(gè)問(wèn)題的答案都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足

65、: 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn), 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且 當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于f(x); 當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于. 例1 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在[-p, p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn)x=kp (k=0, 1, 2, )處不連續(xù), 在其它點(diǎn)處連續(xù), 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且當(dāng)x=kp時(shí)收斂于 , 當(dāng)xkp時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x). 傅里葉