萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修四、五：專題四 解三角形 Word版含解析

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1、 專題四 解三角形 一、題之源：課本基礎知識 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內容 ＝＝＝2R(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 變形形式 a＝2Rsin_A,b＝2Rsin_B,c＝2Rsin_C； sin A＝,sin B＝, sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形中常用的面積公式 （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分

2、別表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝rs。 3．仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 4．方位角 從正北方向順時針轉到目標方向線的角(如圖②,B點的方位角為α)． 5．方向角 相對于某一正方向的角(如圖③)． (1)北偏東α：指從正北方向順時針旋轉α到達目標方向． (2)東北方向：指北偏東45. (3)其他方向角類

3、似． 二、題之本：思想方法技巧 1．已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時,要謹防漏解． 2．在判斷三角形的形狀時,一般將已知條件中的邊角關系利用正弦定理或余弦定理轉化為角角關系(注意應用A＋B＋C＝π這個結論)或邊邊關系,再用三角變換或代數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解,注意等式兩邊的公因式一般不要約掉,而要移項提取公因式,否則有可能漏掉一種形狀． 3．要熟記一些常見結論,如三內角成等差數(shù)列,則必有一角為60；若三內角的正弦值成等差數(shù)列,則三邊也成等差數(shù)列；內角和定理與誘導公式結合產生的結論：sinA＝sin(B＋C),cosA＝－cos(B＋C),sin＝cos,sin2A＝－

4、sin2(B＋C),cos2A＝cos2(B＋C)等． 4．應用正、余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟： (1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖； (2)建模：根據已知條件與求解目標,把已知量與求解量盡量集中到一個三角形中,建立一個解斜三角形的模型； (3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學模型的解； (4)檢驗：檢驗上述所求得的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解． 5．正、余弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產生聯(lián)系,為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角

5、形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數(shù)與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想． 6.要注意銳角三角形中的隱含條件：任意兩內角的和大于． 例：設銳角三角形的內角的對邊分別為,　 （Ⅰ）求的大?。唬á颍┣蟮娜≈捣秶? 【解】（Ⅰ）由,根據正弦定理得,所以,由為銳角三角形得　 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修5第3頁例1）改編 中,角所對的邊分別為,若,則的值為（ ） 【解析】先

6、求出,再求出,最后用一次正弦定理即得.選D. 2.原題（必修5第10頁習題1.1A組第2題）改編1 在三角形ABC中,分別根據下列條件解三角形,其中有兩個解的是（　 ） A．a=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A= C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A= 【解析】C. 改編2 在△ABC中,已知,,B=45 ,求A、C及c. 3.原題（必修5第10頁習題1.1B組第2題）改編 （2010遼寧）在△ABC中,a, b, c分別為內角A, B, C的對邊,且（Ⅰ）求A的

7、大??；（Ⅱ）求的最大值. 【解析】（Ⅰ）由已知,根據正弦定理得 即,由余弦定理得 ,故,A=120 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故當B=30時,sinB+sinC取得最大值1. 4.原題（必修5第11頁例2）改編 如圖,為了測量河對岸兩個建筑物C、D之間的距離,在河岸這邊取兩點A、B,測得∠BAC=45,∠DAC=75,∠ABD=30,∠DBC=45.又AB=千米,A、B、C、D在同一平面內,試求C、D之間的距離. 5.原題（必修5第19頁習題1.2A組第1題）改編 一只船以均勻的速度由A點

8、向正北方向航行,如圖,開始航行時,從A點觀測燈塔C的方位角為30,行駛60海里后,船在B點觀測燈塔C的方位角為45,求A到C的距離． 【解析】A到C的距離為海里． 6.原題（必修5第81頁習題3.2B組第四題）改編 如圖,氣象部門預報：在海面上生成了一股較強臺風,在距臺風中心60千米的圓形區(qū)域內將會受嚴重破壞．臺風中心正從海岸M點登陸,并以72千米/時的速度沿北偏西60的方向移動．已知M點位于A城的南偏東15方向,距A城千米；M點位于B城的正東方向,距B城千米．假設臺風在移動過程中,其風力和方向保持不變,請回答下列問題：（1）A城和B城是否會受到此次臺風的侵襲？并說明理由；（2）若受到此次臺風侵襲,該城受到臺風侵襲的持續(xù)時間有多少小時？ 【解析】（1）A城不會受到臺風影響：B城會受到臺風影響；（2）小時；