【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題10 立體幾何含解析理

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1、專題10 立體幾何 一．選擇題 10． 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，點(diǎn)E、F、H、 K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心. 從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P， 使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為 （ ） A.K B．H C．G D．B′ 【答案】C 2. 【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】關(guān)于直線與平面，有以下四個命題： ①若且，則； ②若且，則； ③若且，則； ④若且，則； 其中真命題的序號是 ( ) A．①②

2、 B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D. 【解析】 試題分析：用排除法可得選D. 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題： ①； ②； ③與相交與相交或重合； ④與平行與平行或重合． 其中不正確的命題個數(shù)是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 【答案】D A B C D A1 B1 C1 D1 4.【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】已

3、知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) 俯視圖 側(cè)視圖 2 正視圖 第4題圖 4 2 4 2 A． B． C． D． 5.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷8】一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為，，，，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（ ） A. B. C. D.

4、 【答案】C 【解析】 試題分析：由柱體和臺體的體積公式可知選C 6.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 二．填空題 1.【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸與y軸重合）所在的平面， （Ⅰ）已知平面內(nèi)有

5、一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為（Ⅱ）已知平面內(nèi)的曲線C/的方程是，則曲線C/在平面內(nèi)的射影C的方程是 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)平面內(nèi)的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，則，故在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為；另：由得，即. 三．解答題 1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn). （Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離. 【解析】解法1：（Ⅰ）建立

6、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，，1）， 解法2：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB， ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角. 在△AOE中，AO=1，OE= ∴ 即AC與PB所成角的余弦值為. （Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則. 2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。 （Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為； （Ⅱ）、在線段上是否

7、存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。 3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC， D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ. （Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD； （Ⅱ）當(dāng)角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取 值范圍. A D B C H V 解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， A D B C V x y z 解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為

8、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)即直線與平面所成角的取值范圍為． A D B C V x y A D B C V x y z （Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為， 4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥側(cè)面A1ABB1. （Ⅰ）求證：AB⊥BC； （Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ的大小關(guān)系，并予以證明. 【解析】（Ⅰ）證明：如右圖，過點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作 AD⊥A1B于D，則 由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1B

9、C側(cè)面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC. 因?yàn)槿庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱， 則AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1， 又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC. 所以 于是由c＜b，得 即又所以 5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且 （Ⅰ）求證：對任意的，都有 （Ⅱ）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值 18

10、.【解析】（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE 解法2：由（I）得. 設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得 。 易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為. . 0<，， . 由于，解得，即為所求。 6.【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖， 在四面體ABOC中, , 且 （Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)， 證明： 在上存在一點(diǎn)，使，并計算的值； （Ⅱ）求二面角的平面角的余

11、弦值。 （Ⅱ） 連接 ， 由，知：. 又， 又由，。 是在平面內(nèi)的射影。 在等腰中，為的中點(diǎn)， 根據(jù)三垂線定理，知： 7.【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】如圖，已知正三棱柱的各棱長是4，E是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)F在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)C重合 （Ⅰ）當(dāng)CF=1時，求證：; （Ⅱ）設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值。 8.【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖1，，，過動點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）． （Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L為多少時，

12、三棱錐的體積最大； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . 棱上確定一 點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。? 【解析】 解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則． 由，知，△為等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如圖2），，，且， 所以平面．又，所以．于是 設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得 ，即． 故與平面所成角的大小為 解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時，，． 如圖b，取的中

13、點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面. 如圖c，延長至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形， 所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥， 9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，，分別是，的中點(diǎn)。 （I）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明； （II）設(shè)（I）中的直線與圓的另一個交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。 第19題圖 【解析】(1)解：直線l∥平面PAC，證明如下： 連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)， 所

14、以EF∥AC. 又EF平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因?yàn)閘平面PAC，EF平面PAC， 所以直線l∥平面PAC. (2)證明：(綜合法)如圖1，連接BD，由(1)可知交線l即為直線BD，且l∥AC. 因?yàn)锳B是O的直徑， 圖1 即sin θ＝sin αsin β. (向量法)如圖2，由，作DQ∥CP，且. 圖2 故sin αsin β＝＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β. 10. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在棱長為2的正方

15、體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動，且. （I）當(dāng)時，證明：直線平面； （II）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 【答案】（1）詳見解析；（2） 【解析】幾何法： （I）證明：如圖1，連結(jié)，由是正方體，知， 當(dāng)時，是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以， 所以， 而平面，且平面， 故平面. （II）如圖2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 由得，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 向量法： 以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系， 由已知得， 所以，，， （I）證明：當(dāng)時，

16、，因?yàn)椋? 所以，即， 而平面，且平面， 故直線平面. （II）設(shè)平面的一個法向量， 由可得，于是取， 同理可得平面的一個法向量為， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角， 則， 即，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線線、線面、面面平行于垂直，二面角. 11. 【2015高考湖北，理19】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 （Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫 出結(jié)論）；若不是，說明理由； （Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. （Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以，， 于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以. 由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形， 即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為.