【備戰(zhàn)】湖北版高考數(shù)學分項匯編 專題09 圓錐曲線含解析理

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1、【備戰(zhàn)2016】（湖北版）高考數(shù)學分項匯編 專題09 圓錐曲線（含解析）理 一．選擇題 1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】雙曲線離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：拋物線的焦點為(1,0)，∴得m=,n=,∴mn=，選A. 2.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是 ( ) A．

2、 B． C． D． 3.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于 （ ） A． B． C． D． 4.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表

3、示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子： ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④＜. 其中正確式子的序號是（ ） A. ①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④ 【答案】B 【解析】 試題分析：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應選B． 5.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是（ ） A. B. C.

4、 D. 6.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】設集合，，則的子集的個數(shù)是（ ） A．4 B．3 C ．2 D．1 【答案】A 【解析】 試題分析：畫出橢圓和指數(shù)函數(shù)圖象，可知其有兩個不同交點，記為A1、A2，則的子集應為共四種，故選A. 7.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則（ ） A. B. C. D. 8.【

5、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知，則雙曲線與的（ ） A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D. 離心率相等 【答案】D 【解析】 試題分析：雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D. 9.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ） A. B. C.3 D.2 所以. 所以橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值

6、為，故選A. 考點：橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，利用三角換元法求最值，難度中等. 10. 【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A．對任意的， B．當時，；當時， C．對任意的， D．當時，；當時， 二．填空題 1.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，雙曲線的兩頂點為，，虛軸兩端點為，，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為. 則： A1　 　 A2 y B

7、2 B1 A O B C D F1　　　　　　　　 F2 　 x （Ⅰ）雙曲線的離心率 ； （Ⅱ）菱形的面積與矩形的面積的比值 . 三．解答題 1.【2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）

8、【解析】 （Ⅰ）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得 ① 設是方程①的兩個不同的根， ∴ ② 同理可得 ⑥ ∵當時， 假設存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心. 點M到直線AB的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上. 又B為A關于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓. （注：也可用勾股定理證明AC⊥AD） 2.【2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程；

9、（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。 （此題不要求在答題卡上畫圖） 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x1，y1），N（x2，y2）， 則－2

10、與BP的交點P在準線x＝4上， ∴，即y2＝ 又點M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡后可得－＝. 從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi). 3.【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2=2px(p>0)相交于A、B兩點. （Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點， 求△ANB面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖）

11、 N O A C B y x l 4.【2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點， ∠POB=30，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P. （Ⅰ）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線C的方程； （Ⅱ）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),

12、P（），依題意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線. 設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c， 則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲線C的方程為. 解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線. 設雙曲線的方程為＞0，b＞0）. 則由　 解得a2=b2=2, ∴曲線C的方程為 (Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）

13、x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， ∴ 　　 ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是 ｜EF｜＝ ＝ 而原點O到直線l的距離d＝， ∴S△DEF= 綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）. 5.【2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 （Ⅰ）當時，求證：⊥； （Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存

14、在，求出的值；若不存在，說明理由。 6.【2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (Ⅰ)求曲線C的方程； （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 7.【2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之積等于非零常數(shù)的m的點的軌跡，加上兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓、或雙曲線。 （Ⅰ

15、）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系； （Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為。設是的兩個焦點。試問：在上是否存在點N,使得的面積。若存在，求的值，若不存在，請說明理由。 由①的，由②得，， 當，即或時， 存在點N使得，； 8.【2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （Ⅱ）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線

16、交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）如圖1，設，，則由， 可得，，所以，. ① 因為點在單位圓上運動，所以. ② 將①式代入②式即得所求曲線的方程為. 9.【2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為，，，。記，和的面積分別為和。 （I）當直線與軸重合時，若，求的值； （II）當變化時，是否存在與坐標軸

17、不重合的直線，使得？并說明理由。 第21題圖 【解析】（I）， 解得：（舍去小于1的根） 10.【2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為. （I）求軌跡為的方程； （II）設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍. 【答案】（I）；（II）當時直線與軌跡恰有一個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點. 【解析】 試題分析：（I）設

18、點，根據(jù)條件列出等式，在用兩點間的距離公式表示，化簡整理即得；（II）在點的軌跡中，記，，設直線的方程為即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點. 當時 ，直線與有兩個共點，與沒有公共點. 故當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點. 11. 【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內(nèi)作往復運動時，帶動繞轉動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．

19、若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． x D O M N y 第21題圖2 第21題圖1 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）設點，，依題意， 第21題解答圖 ，且， 所以，且 即且 由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0， 于是，故，代入，可得， 即所求的曲線的方程為 當時，. 因，則，，所以， 當且僅當時取等號. 所以當時，的最小值為8. 綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8. 考點：橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關系，最值.