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1、課時提升作業(yè)(七十四)
一、選擇題
1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,則圖中相似三角形的對數(shù)為
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如圖所示,給出下列條件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;
③ACCD=ABBC;④AC2=ADAB,其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面積為6,則△CDF的面積為 ( )
(A)12 (B)24 (C)1
2、8 (D)54
二、填空題
4.如圖,已知D為△ABC中AC邊的中點,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延長線于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,則AE= .
5.(2013西安模擬)如圖所示,已知在△ABC中,∠C=90,正方形DEFC內(nèi)接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,則AF∶FC等于 .
6.(2013永州模擬)如圖,△ABC中,BC=4,∠BAC=120,AD⊥BC,過B作CA的垂線,交CA的延長線于E,交DA的延長線于F,則AF= .
三、解答題
7.已知如圖,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,點D是垂足,求證
3、:BC2=2CDAC.
8.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD與AC相交于點O,過點O的直線分別交AB,CD于點E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.
9.(2013宿州模擬)如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,且AD=13AC,AE=23AB,BD,CE相交于點F.
(1)求證:A,E,F,D四點共圓.
(2)若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.
10.如圖,在?ABCD中,AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點E,F,AE,BF相交于點M.
(1)試說明:AE⊥BF.
(2)判斷線段DF與CE的大
4、小關(guān)系,并予以證明.
11.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,E,F是BC邊上的兩點,∠EAF=45.
求證:EF2=BE2+CF2.
12.如圖,?ABCD中,E是CD的延長線上一點,BE與AD交于點F,DE=12CD.
(1)求證:△ABF∽△CEB.
(2)若△DEF的面積為2,求?ABCD的面積.
答案解析
1.【解析】選B.根據(jù)條件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.
2.【解析】選C.①②利用有兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似;③兩邊對應(yīng)成比例不能判斷兩個三角形相似;④利用有一角相等且此角的兩邊對應(yīng)
5、成比例的兩個三角形相似.
3.【解析】選D.由題設(shè),AE∶EB=1∶2,
∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.
又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,
∴S△AEFS△CDF=AE2CD2=19.
又∵△AEF的面積為6,
∴S△CDF=9S△AEF=54,故選D.
4.【解析】∵AE∥BC,D為AC的中點,
∴AE=CF,AEBF=AGBG=13.
設(shè)AE=x,
又BC=8,∴xx+8=13,
∴x=4,∴AE=4.
答案:4
5.【解析】設(shè)正方形邊長為x,則由△AFE∽△ACB,可得AFAC=FEBC,即1-x1=x2,所以x=23,于是AF∶FC=1∶2
6、.
答案:1∶2
6.【解析】設(shè)AE=x,
∵∠BAC=120,∴∠EAB=60.
又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=3x,
∴AEBE=x3x=13.
在Rt△AEF與Rt△BEC中,
∠F=90-∠EAF=90-∠DAC=∠C,
∴△AEF∽△BEC,∴AFBC=AEBE,
∴AF=413=433.
答案:433
7.【證明】過點A作AE⊥BC,垂足為E,
∴CE=BE=12BC.
由BD⊥AC,AE⊥BC,
又∵∠C=∠C,
∴△AEC∽△BDC,
∴ECDC=ACBC,∴12BCCD=ACBC,
即BC2=2CDAC.
8.【解析】∵AD∥BC,∴
7、OBOD=BCAD=2012=53.
∴OBBD=58.∵OE∥AD,∴OEAD=OBBD=58,
∴OE=58AD=5812=152,
同理可得OF=38BC=3820=152,
∴EF=OE+OF=15.
9.【解析】(1)∵AE=23AB,∴BE=13AB.
∵在正△ABC中,AD=13AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,
∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四點共圓.
(2)取AE中點G,連結(jié)GD,
則AG=GE=12AE.
∵AE=23AB,∴AG=GE=13AB=23,
AD=13A
8、C=23,∠DAE=60.
∴△AGD為正三角形,∴GD=GA=AD=23,
即GA=GE=GD=23,∴G是△AED外接圓圓心.
且圓G的半徑為23,
∵A,E,F,D四點共圓,
即A,E,F,D四點共圓G,其半徑為23.
10.【解析】(1)∵在?ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180.
∵AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC,
∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,
∴2∠BAE+2∠ABF=180,
即∠BAE+∠ABF=90,
∴∠AMB=90,∴AE⊥BF.
(2)線段DF與CE是相等關(guān)系,即DF=CE.
∵在?ABCD中,CD∥
9、AB,
∴∠DEA=∠EAB.
又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.
同理CF=BC.
又∵在?ABCD中,AD=BC,
∴DE=CF,
∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.
11.【證明】如圖,以AE為邊作△AEG≌△AEB,連接FG.
∵△AEG≌△AEB,
∴∠1=∠2,∠5=∠B=45,
AG=AB=AC.
∵∠1+∠3=∠EAF=45,
∠BAC=90,∴∠2+∠4=45,∴∠3=∠4.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,
∴∠6=∠C=45.
∴∠EGF=∠5+∠6=45+45=90,
∴△E
10、FG是直角三角形,
∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.
12.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=12CD,
∴S△DEFS△CEB=(DEEC)2=19,S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,
∴S四邊形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,
∴S四邊形ABCD=S四邊形BCDF+S△ABF=16+8=24.
選修41 第一節(jié)
