高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第四章 4.2

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1、 精品資料 4.2　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 1． 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2． 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法

2、①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3． 平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底． (　　) (2)在△ABC中，向量，的夾角為∠ABC. (　　) (3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　√　) (4)平面向量的基底不唯一，

3、只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示． (　√　) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝. (　　) (6)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，則θ等于45. (　　) 2． 已知點(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，則與共線的單位向量為 (　　) A．(，－)或(－，) B．(，－) C．(－，)或(，－) D．(－，) 答案　C 解析　因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)， 所以＝(－5,12)，||＝13， 與共線的單位向量為＝(－5

4、,12) ＝(－，)． 3． 已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝，設(shè)＝ λ＋(λ∈R)，則λ的值為 (　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E(圖略)． 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 4． 在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為__________． 答案　(－3，－5) 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝－＝(

5、－3，－5)． 5． 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足＝＋，則＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴－＝－＋＝(－)， ∴＝，∴＝. 題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用 例1　在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且＝＋，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又＝t，試求t的值． 思維啟迪　根據(jù)題意可選擇，為一組基底，將，線性表示出來，通過＝t鍵立關(guān)于t的方程組，從而求出t的值． 解　∵＝＋， ∴3＝2＋， 即2－2＝－， ∴2＝， 即P為AB的一個三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A)，如圖所示． ∵A，M，Q三點(diǎn)共線， ∴設(shè)＝x＋(1－x)＝＋(x－1)

6、， 而＝－，∴＝＋(－1). 又＝－＝－， 由已知＝t可得， ＋(－1)＝t(－)， ∴，解得t＝. 思維升華　平面向量基本定理表明，平面內(nèi)的任意一個向量都可用一組基底唯一表示，題中將同一向量用同一組基底的兩種形式表示出來，因此根據(jù)表示的“唯一性”可建立方程組求解． 　如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若 ＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案　 解析　設(shè)||＝y(tǒng)，||＝x， 則＝＋＝－， ① ＝＋＝＋， ② ①y＋②x得＝＋， 令＝，得y＝x，代入得m＝. 題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2　已知A(1，

7、－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， (1)求＋2－3； (2)設(shè)＝3，＝－2，求及M、N點(diǎn)的坐標(biāo)． 思維啟迪　(1)直接計算、、的坐標(biāo)，然后運(yùn)算； (2)根據(jù)向量的坐標(biāo)相等列方程求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)． 解　(1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， ∴＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， ＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)， ＝(3－2,2－1)＝(1,1)， ∴＋2－3＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1) ＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)． (2)∵＝3，＝－2， ∴＝－＝－2－3＝－2＋3， 由A、

8、B、C、D點(diǎn)坐標(biāo)可得＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4)． ∴＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10)． 設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)． 又＝3，∴－＝3(－)， ∴(xM，yM)－(3,2)＝3[(1，－2)－(3,2)]＝(－6，－12)． ∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10)． 又＝－2，即－＝－2， ∴(xN，yN)－(3,2)＝－2(1,1)， ∴xN＝1，yN＝0，∴N(1,0)． 思維升華　向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則

9、． 　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵

10、＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． 題型三　向量共線的坐標(biāo)表示 例3　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． (2)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 思維啟迪　(1)根據(jù)向量共線列式求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)根據(jù)向量共線求參數(shù)． 答案　(1)(2,4)　(2)5 解析　(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2. 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，

11、y)， 則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴，解得，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)． (2)依題意得a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)， 又∵(a－c)∥b， 故＝，∴k＝5. 思維升華　(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，則b＝λa. (2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零

12、時，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解． 　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于 (　　) A. B. C．1 D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 答案　(1)B　(2)m≠ 解析　(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)， ∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)， ∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. (2)

13、因?yàn)椋?3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)， 所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)． 由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線， 而當(dāng)與共線時，有＝，解得m＝， 故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時實(shí)數(shù)m滿足的條件是m≠. 忽視平行四邊形的多樣性致誤 典例：(14分)已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 易錯分析　此題極易出現(xiàn)思維定勢，認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)漏解．實(shí)際上，題目條件中只給出平行四邊形的三個頂點(diǎn)，并沒有規(guī)定順序，可能有三種情形． 規(guī)范解答 解　如圖所示， 設(shè)

14、A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)． [1分] ①若四邊形ABCD1為平行四邊形，則＝，而＝(x＋1，y)， ＝(－2，－5)． 由＝，得 ∴∴D1(－3，－5)． [5分] ②若四邊形ACD2B為平行四邊形，則＝2. 而＝(4,0)，＝(x－1，y＋5)． ∴∴∴D2(5，－5)． [9分] ③若四邊形ACBD3為平行四邊形，則＝. 而＝(x＋1，y)，＝(2,5)， ∴∴∴D3(1,5)． [13分] 綜上所述，平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)． [14

15、分] 溫馨提醒　(1)本題考查向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算，難度中等，但錯誤率較高，典型錯誤是忽視了分類討論．此外，有的學(xué)生不知道運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，找不到解決問題的切入口． (2)向量本身就具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，所以在解決此類問題時，要注意畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解. 方法與技巧 1． 平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解． 向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵． 2． 平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)兩向量平行的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是a＝λb，這與x1y2－x2y1＝0

16、在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同． (2)三點(diǎn)共線的判斷方法 判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定． 失誤與防范 1． 要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況． 2． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． (2012廣東)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則等于 (　　) A．(－2，－4)

17、 B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 答案　A 解析　由于＝(2,3)，＝(4,7)， 所以＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 2． 在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于 (　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 答案　B 解析?。?＝3(2－) ＝6－3＝(6,30)－(12,9) ＝(－6,21) 3． 設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，則“a＝(4,2)”是“a

18、∥b”成立的是 (　　) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　若a＝(4,2)，則|a|＝2，且a∥b都成立； 因a∥b，設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝2， ∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要條件． 4． 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于 (　　) A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 答案　B 解析　設(shè)c＝λa＋μb，

19、 ∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴，∴，∴c＝a－b. 5． 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且 ＝2，則 (　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案　A 解析　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 二、填空題 6． 已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案　1 解析　由題意知＝(－3,0)，＝(0，)，則＝(－3λ，)， 由∠AOC＝30知以x軸

20、的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150， ∴tan 150＝，即－＝－，∴λ＝1. 7． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為________． 答案　 解析　因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b， 所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 即10x＝5，解得x＝. 8． △ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q

21、，則角C＝________. 答案　60 解析　因?yàn)閜∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab，＝， 結(jié)合余弦定理知，cos C＝， 又0

22、，－3)． 10．如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點(diǎn)，且 P，G，Q三點(diǎn)共線． (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． (1)解?。剑剑耍剑?－) ＝(1－λ)＋λ. (2)證明　一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝(＋)＝＋.② 而，不共線，∴由①②，得 解得∴＋＝3(定值)． B組　專項(xiàng)能力提升 (時間：30分鐘) 1． 已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為

23、 (　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　∵A、B、C三點(diǎn)共線， ∴存在實(shí)數(shù)t，滿足＝t， 即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共線的向量， ∴，∴λμ＝1. 2． 已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是(　　) A. B. C．－3 D．0 答案　D 解析　∵＝－， ∴＝－－＝－－， ∴＝－，∴＝－. 又＝r＋s，∴r＝，s＝－， ∴r＋s＝0，故選D. 3． 如圖，四邊形ABCD是菱形，延長CD至E，使得DE＝2CD，若動 點(diǎn)P從點(diǎn)A出

24、發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，其 中＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為________． 答案　4 解析　∵＝＋＝－2＝－2， ∴＝λ＋μ＝λ＋μ(－2) ＝(λ－2μ)＋μ. ∴①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，0≤λ－2μ≤1，μ＝0，此時0≤λ＋μ≤1； ②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，λ－2μ＝1,0≤μ≤1，此時1≤λ＋μ＝1＋3μ≤4； ③當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上時，0≤λ－2μ≤1，μ＝1，此時3≤λ＋μ≤1＋3μ＝4； ④當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時，λ－2μ＝0,0≤μ≤1，此時0≤λ＋μ＝3μ≤3； ∴λ＋μ的最大值為4. 4． 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如

25、圖所示， 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動．若＝x＋y，其中x， y∈R，求x＋y的最大值． 解　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 如圖所示，則A(1,0)， B(－，)， 設(shè)∠AOC＝α(α∈[0，])，則C(cos α，sin α)， 由＝x＋y， 得， 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)， 又α∈[0，]，所以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2. 5． 已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，試問： (1)t為何值時，P在x軸上？在y軸上？在第三象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形，若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由． 解　(1)∵＝(1,2)，＝(3,3)， ∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t＝－； 若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－； 若點(diǎn)P在第三象限，則解得t<－. (2)若四邊形OABP為平行四邊形，則＝， ∴ ∵該方程組無解，∴四邊形OABP不能成為平行四邊形．