江蘇高考數(shù)學二輪復習教師用書：第1部分 知識專題突破 專題7　不等式 Word版含答案

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1、專題七專題七不等式不等式命題觀察高考定位(對應學生用書第 28 頁)1(2016江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足x2y40，2xy20，3xy30，則x2y2的取值范圍是_4 45 5，1313根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內的動點dx2y2可以看做坐標原點O與可行域內的點(x，y)之間的距離數(shù)形結合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線 2xy20 的距離 由x2y40，3xy30可得A(2,3)，所以dmax 2232 13，dmin|2|221225.所以d2的最小值為45，最大值為 13.所以x2y2的取值范圍是45，13.2(2015江蘇

2、高考)不等式 2x2x4 的解集為_x|1x2(或1，2)2x2x4， 2x2x22， x2x2， 即x2x20，1x2.3(2014江蘇高考)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0 成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.【導學號：56394045】22，0作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有fm0，fm10，即m2m210，m12mm110，解得22m0.所以實數(shù)a的取值范圍為22，0.命題規(guī)律在近年來的高考數(shù)學中，有關不等式的試題都占有較大的比重. 不僅考查有關不等式的基礎知識、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運算能力以及

3、分析問題和解決問題的能力. 在題型上，填空題主要考查不等式的性質、解簡單不等式、簡單線性規(guī)劃的應用、絕對值不等式、簡單轉化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實際應用題等. 試題常常是寓不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實際應用等問題之中， 知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高， 是高考數(shù)學思想、數(shù)學方法、考能力、考素質的主陣地. 從近幾年數(shù)學試題得到啟示：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對簡單線性規(guī)劃的應用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易

4、于把握；對基本不等式的考查，較多的寓于綜合題目之中通過第二輪的專題復習，應注意在鞏固基礎知識、基本方法的基礎上，強化記憶，熟化常見題型的解法，提升綜合應用不等式解題的能力主干整合歸納拓展(對應學生用書第 28 頁)第 1 步核心知識再整合1在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負數(shù)來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握2解不等式的過程，實質上是不等式等價轉化的過程因此在學習中理解保持同解變形是解不等式應遵循的基本原則轉化的方法是： 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式其中準確熟練求解一元二次(一次)不等式

5、是解其他不等式的基礎，這體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想3對于公式ab2ab，abab22，要理解它們的作用和使用條件及內在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉化關系4在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤5平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集確定平面區(qū)域中單個變量的范圍、整點個數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來，結合圖形通過計算解決線性目標函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為yabxzb可知zb是直線ax

6、byz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值6含有絕對值的不等式常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對值不等式的性質；(3)平方；(4)利用絕對值的幾何意義第 2 步 高頻考點細突破簡單線性規(guī)劃的應用【例 1】(江蘇省泰州中學 2017 屆高三摸底考試)已知實數(shù)x，y滿足2xy0，xy50，y40，若不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，則實數(shù)a的最小值是_解析可行域為一個三角形ABC及其內部(圖略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C53，103 ，因此yxkOA，kOB2,4，因為yxxy在2,4上單調遞增，所以yxxy52，17

7、4 ，不等式a(x2y2)(xy)2恒成立等價于axy2x2y2max12yxxymax95amin95.答案95規(guī)律方法這是簡單線性規(guī)劃的應用的基本題型基本思路是：畫、移、解、代技巧是：往往在“角點”處取得最值，直接代入點的坐標即可，關鍵點是理解目標函數(shù)的幾何意義舉一反三(2017江蘇省泰州市高考數(shù)學一模)若實數(shù)x，y滿足2xy4，x3y7，x0，y0，則z3x2y的最大值為_7 7作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)由z3x2y得y32x12z，平移直線y32x12z，由圖象可知當直線y32x12z經(jīng)過點A時，直線y32x12z的截距最大，此時z最大由2xy4，x3y7，解得A(1

8、,2)，代入目標函數(shù)z3x2y得z31227.即目標函數(shù)z3x2y的最大值為 7.簡單線性規(guī)劃“逆向”問題，確定參數(shù)的取值(范圍)【例 2】(無錫市普通高中 2017 屆高三上學期期中基礎性檢測)已知x，y滿足yx，xy2xa，若z3xy的最大值為M，最小值為m，且Mm0，則實數(shù)a的值為_解析畫出不等式組yxxy2xa表示的區(qū)域如圖，結合圖形可以看出當動直線y3xz經(jīng)過點A(a，a)和B(1,1)時，z3xy分別取最小值m4a和最大值m4，由題設可得 4a40，所以a1.答案1規(guī)律方法嘗試畫出“可行域”，通過平移直線確認“最優(yōu)解”，建立參數(shù)的方程舉一反三實數(shù)x，y滿足y1，y2x1，xym，如

9、果目標函數(shù)zxy的最小值為2，則實數(shù)m的值為_.【導學號：56394046】8 8如圖， 約束條件表示的可行域應該是ABC內部(含邊界)(否則可行域不存在)， 作直線l：xy0，當把直線l向上平移時，z減小，因此其最小值點是直線y2x1 與直線xym的交點，由y2x1xy2得B(3,5)，代入xym得m8.基本不等式的應用【例 3 】(2016 2017 學年 度江蘇 蘇州市 高三期 中調研 考試) 若函 數(shù)y tancos 21sin 200.ytancos 21sin 2tan2cos22sincostan1tan2tan1tan2，當且僅當 tan1 時取等號因此y的最小值為 2.答案2

10、規(guī)律方法應用基本不等式，應注意“一正、二定、三相等”，缺一不可靈活的通過“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號成立的條件，是常見錯誤之一舉一反三(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017 屆高三上學期期中)已知正數(shù)a，b滿足1a9bab5，則ab的最小值為_36361a9bab5ab529ab(ab)25ab60ab6ab36，當且僅當b9a時取等號，因此ab的最小值為 36.不等式的綜合應用【例 4】(泰州中學 20162017 年度第一學期第一次質量檢測)已知二次函數(shù)f(x)mx22x3，關于實數(shù)x的不等式f(x)0 的解集為1，n.(1)當a0 時

11、，解關于x的不等式：ax2n1(m1)x2ax；(2)是否存在實數(shù)a(0,1)，使得關于x的函數(shù)yf(ax)3ax1(x1,2)的最小值為5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由解(1)由不等式mx22x30 的解集為1，n知， 關于x的方程mx22x30 的兩根為1 和n，且m0，由根與系數(shù)關系，得1n2m，1n3m，m1，n3.所以原不等式化為(x2)(ax2)0，當 0a0，且 22a或x0，解得xR R 且x2；當a1 時，原不等式化為(x2)x2a0，且 22a，解得x2；綜上所述：當 02a或x1 時，原不等式的解集為x|x2 或x2a.(2)假設存在滿足條件的實數(shù)a，由(1)

12、得：m1，f(x)x22x3，yf(ax)3ax1a2x(3a2)ax3.令axt(a2ta)，則yt2(3a2)t3(a2ta)，對稱軸t3a22，因為a(0,1)，所以a2a1,13a2252，所以函數(shù)yt2(3a2)t3 在a2，a上單調遞減，所以當ta時，y的最小值為y2a22a35，解得a512.規(guī)律方法應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)、證明不等式，解題格式明確、規(guī)范，基本思路清晰，能使問題解決的領域更寬廣解題過程中，注意應用轉化與化歸思想，化生為熟、化難為易、化繁為簡，是解決問題的基本方法舉一反三(泰州中學 20162017 年度第一學期第一次質量檢測文科)已知函數(shù)f(x)|

13、x1|，g(x)x26x5(xR R)(1)若g(x)f(x)，求x的取值范圍；(2)求g(x)f(x)的最大值.【導學號：56394047】解(1)當x1 時，f(x)x1，由g(x)f(x)，得x26x5x1，整理得(x1)(x4)0，所以x1,4；當x1 時，f(x)1x，由g(x)f(x)，得x26x51x，整理得(x1)(x6)0，所以x1,6，由x0，b0，ab1，求a1a2b1b2的最小值錯解a1a2b1b2a2b21a21b242ab2ab44ab1ab48，所以，a1a2b1b2的最小值是 8.錯解分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2b22ab，第一次等號成立的條件是a

14、b12，第二次等號成立的條件是ab1ab，顯然，這兩個條件是不能同時成立的因此，8 不是最小值正解a1a2b1b2a2b21a21b24(ab)22ab1a1b22ab4(12ab)11a2b24，由abab2214， 得 12ab11212， 且1a2b216, 11a2b217，原式12174252(當且僅當ab12時，等號成立)，所以，a1a2b1b2的最小值是252.專家預測鞏固提升(對應學生用書第 31 頁)1已知正實數(shù)x，y滿足x2x3y4y10，則xy的取值范圍為_1 1，8 83 3設xyt，則ytx，所以 10 x2x3y4yx2x3tx4xt14t x(23t)1x214t

15、23t.即 3t211t80，解之得 1t83.2已知函數(shù)的定義域是2，)且f(4)f(2)1,f(x)為f(x)的導函數(shù)，且f(x)的圖象如圖 71 所示， 則不等式組x0y0f2xy1所圍成的平面區(qū)域的面積是_.【導學號：56394048】圖 714 4由導函數(shù)的圖象得到f(x)在2,0遞減；在0，)遞增，f(4)f(2)1，f(2xy)1，22xy4，x0y0f2xy1x0y022xy4表示的平面區(qū)域如下：所以平面區(qū)域的面積為12244.3已知函數(shù)f(x)的定義域是3，)且f(6)2，f(x)為f(x)的導函數(shù)，f(x)的圖象如圖 72 所示，若正數(shù)a，b滿足f(2ab)0，2ab0)x2zy2z41，這個橢圓與可行域有公共點，只需它與線段xy1(0 x1)有公共點，把y1x代入橢圓方程得 5x28x4z0，由判別式6445(4z)0 得z45，且x450,1時，z45.