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1、“14.3 用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式
—— 一次函數(shù)與二元一次方程(組)”教學設計
人教版 數(shù)學 八年級上冊第十四章第三節(jié)第三課時
河北省滄州市第十四中學 王建華
一、教學內(nèi)容解析
1.教材的地位和作用
函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學模型。用函數(shù)的觀點看方程(組)與不等式,使學生不僅能加深對方程(組)、不等式的理解,提高認識問題的水平,而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來,感受數(shù)學的統(tǒng)一美。本節(jié)是學生認識了一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組及一元一次不等式的基礎上,從變化和對應的角度去認識一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系,是站在
2、更高的起點上的動態(tài)分析。本節(jié)課是“用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式”的第三節(jié)課,是對一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進行分析后,對一次函數(shù)和二元一次方程(組)關(guān)系的探究,學生在探索過程中不斷體驗數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想,這不僅是對前面所學知識的升華,也是為下面學習一次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)打下堅實的基礎。
2.教學重難點
重點:一次函數(shù)與二元一次方程(組)關(guān)系的探索。
難點:綜合運用方程(組)、不等式和函數(shù)的知識解決實際問題。
二、教學目標設置
知識技能:理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系,會用圖象法解二元一次方程組。
數(shù)學思考:經(jīng)歷一次函數(shù)與二元一次方程(組)關(guān)系的探
3、索及相關(guān)實際問題的解決過程,學會用函數(shù)的觀點去認識問題。
解決問題:能綜合應用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(組)解決相關(guān)實際問題。培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想解決數(shù)學問題的能力。
情感態(tài)度:在探究活動中培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的科學精神,在師生、生生的交流活動中,學會與人合作,學會傾聽、欣賞和感悟,體驗數(shù)學的價值,建立自信心。
三、學生學情分析
從心理特征來說,八年級學生的邏輯思維已逐步從經(jīng)驗型向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨之迅速發(fā)展,但同時這一階段的學生普遍具有求知欲高、模仿能力強,思維多依賴于具體直觀形象的特點,所以在教學中要抓
4、住這些特點,一方面要較好的激發(fā)學生求知和探索的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上;另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性,讓學生在實踐經(jīng)驗中體會方程和函數(shù)的密切了解。
從認知狀況來說,學生在此前已經(jīng)具有了變量與函數(shù)的知識積累,掌握了二元一次方程(組)和一次函數(shù)的相關(guān)知識,并且已經(jīng)對一元一次方程、一元一次不等式從函數(shù)的角度重新進行了分析,初步建立了數(shù)(代數(shù)表達式)形(圖象)結(jié)合的意識,這為順利完成本節(jié)課的教學任務做好了鋪墊,但對函數(shù)圖象的理解,由于其抽象程度較高,學生可能會產(chǎn)生一定的困難,所以教學中應注意發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合的思想。
四、教學策略分析
本學段的學生思考
5、和探索的意愿、能力有所提高,并在探索的過程中能分析、歸納,形成自己的觀點,所以教法和學法的安排遵循了有利于學生自主探索、動手實踐、合作交流。
教法的選擇:通過創(chuàng)設問題情境,激發(fā)學生求知和探究的欲望。把知識的獲得置于探究活動之中,通過探索研究使學生深刻體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,通過動手畫圖使學生體驗利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的過程,提高學生分析問題和解決問題的能力。根據(jù)“問題——探究——交流——應用——提高”的流程,對難點進行層層鋪設,使學生在學習中經(jīng)歷知識的形成與應用的過程,更好的理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系,從而感受自我奮斗后成功的喜悅。
學法的指導:鼓勵學生自主探索和合作交流,
6、引導學生自主地從事畫圖、觀察、歸納與交流等教學活動,鼓勵學生從多個角度獲得解題方法,促進學生對問題的多方面理解,形成多樣化的解決問題的意識,從而使學生形成對數(shù)學知識的理解和有效的學習策略。同時注意精選題目,做多種形式的練習,力爭把學生思維展開。
五、教學過程
(一)感知身邊數(shù)學
結(jié)合前面對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間關(guān)系的探究,我開門見山提出問題:“我們學過的二元一次方程(組)也是一次的,它們和一次函數(shù)之間是否也有了解呢?”,從而直接引出課題。
導入“上網(wǎng)業(yè)務辦理”的問題情景:我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務,發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費方式:方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時
7、間計費;方式B除收月基費外再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。這時,身邊一顧客說他每月上網(wǎng)的費用按方式A計算比按方式B計算少花3元。問這位顧客每月上網(wǎng)多長時間?方式B中的月基費是多少元?
學生已經(jīng)學習過列方程(組)解應用題,因此學生很快列出二元一次方程,為下面的探究做好鋪墊。
[設計意圖] 建構(gòu)主義認為,在實際情境中學習可以激發(fā)學生的學習興趣。因此,用“上網(wǎng)收費”這一生活實際創(chuàng)設情境,并用以引出問題為下面“啟發(fā)學生去思、激勵學生去探、鼓勵學生去說”做好鋪墊,努力給學生造成“心求通而未能得,口欲言而不能說”的情勢,從而喚起學生強烈的求知欲,使他們以躍躍欲試的姿態(tài)投入到下面的探索活動中來。
8、另外,此問題的設置也為后面例題的講解做好鋪墊,有利于教學難點的突破。
(二)體驗探索樂趣
活動一:探究一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系
問題:
1.方程是什么方程?它有多少個解?你能舉出幾個這個方程的解嗎?
2.二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為________.
思考:是否任意的二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為這種一次函數(shù)的形式?
3.點(10,3.5),(20,4),(30,4.5)都在直線上嗎?為什么?
4.直線上的任意一點(,)一定是二元一次方程的一個解嗎?
5.任意的二元一次方程是否都能轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的形式嗎?怎么轉(zhuǎn)化?
6.一次函數(shù)的圖象上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的一個
9、解嗎?
試一試:在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖象.思考:直線上任意一點(,),則,一定是方程的一個解嗎?
[設計意圖] 用一連串的問題由易到難,由特殊到一般,引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程在數(shù)與形兩個方面的關(guān)系,并用一道題目(試一試)讓學生鞏固對數(shù)形結(jié)合的認識,加深對數(shù)與形之間的本質(zhì)了解的理解,為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標的關(guān)系作好鋪墊。
活動二:探究一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系
問題1. 在同一坐標系中畫出二元一次方程所對應的直線,觀察兩直線有交點嗎?你能確定這個交點的坐標嗎?
請同學們快速得到方程組的解是 .
觀察并思考:這個交點坐標與方程
10、組的解有什么關(guān)系?
探索:是否任意兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標都是它們所對應的二元一次方程組的解?
此時教師留給學生充分探索交流的時間與空間,對學生可能出現(xiàn)的疑問給予幫助。之后,簡單的概括用圖象法解二元一次方程組的步驟。
師生共同歸納出:從“形”的角度看,解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。
問題2.當自變量取何值時,一次函數(shù)與的值相等?這個函數(shù)值是什么?這個問題與解方程組是同一個問題嗎?
進一步歸納出:從“數(shù)”的角度看,解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等,以及這個函數(shù)值是何值。
[設計意圖] 學生經(jīng)過自主探索、合作交流,從數(shù)和形兩個角度認識一次函數(shù)與二元一次方程組的
11、關(guān)系,真正掌握本節(jié)課的重點知識,從而在頭腦中再現(xiàn)知識的形成過程,避免單純地記憶,使學習過程成為一種再創(chuàng)造的過程。此時教師及時對學生進行鼓勵,充分肯定學生的探究成果,關(guān)注學生的情感體驗。
(三)乘坐智慧快車
再現(xiàn)本節(jié)課剛開始時的引例,并把引例中的條件和結(jié)論稍加變化,得到例題:我在中國電信公司營業(yè)大廳辦理上網(wǎng)業(yè)務,發(fā)現(xiàn)有兩種上網(wǎng)收費方式:方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費;方式B除收月基費外再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。經(jīng)過咨詢,方式B的月基費是20元,那么我該如何選擇收費方式更合算?請同學們幫我出出主意。
解法1:設上網(wǎng)時間為分鐘,若按方式A則收元;若按方式B則收元。然后在
12、同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象,計算出交點坐標,結(jié)合圖象,利用直線上點位置的高低直觀地比較函數(shù)值的大小,得到當一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400分鐘時,選擇方式A更合算;當上網(wǎng)時間等于400分鐘時,選擇方式A、B的費用一樣多;當上網(wǎng)時間多于400分鐘時,選擇方式B更合算。
解法2:設上網(wǎng)時間為分鐘,方式B與方式A兩種計費的差額為元,得到一次函數(shù):,即,然后畫出函數(shù)的圖象,計算出直線與軸的交點坐標,類似地用點位置的高低直觀地找到答案。
注意:所畫的函數(shù)圖象都是射線。
[設計意圖] 為培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和規(guī)范解題的習慣,引導學生將上網(wǎng)問題延伸為例題,鼓勵學生從多個角度獲得解決問題的方法,促進了
13、學生對問題的多方面理解,形成多樣化解決問題的意識,從而激起學生強烈的求知欲望和主人翁的學習姿態(tài)。通過此問題的探究,使學生有效地理解本節(jié)課的難點,體會數(shù)形結(jié)合這一思想方法的應用。
(四)體驗成功喜悅
1.勇敢者的游戲:
⑴.以二元一次方程方程的解為坐標的所有點都在一次函數(shù)_____的圖象上.
⑵.求直線與的交點坐標,即求二元一次方程組 的解,解得_______,由此可知直線與的交點坐標是_____.
先請同學勇敢的舉手爭取答題的機會,再出示題目。在沒有看到題目是什么的情況下,這樣做的確需要很大的勇氣,是名副其實的“勇敢者的游戲”
2.鞏固例題教學效果:
先展示一組照片——
14、“滄州的名片”,展示家鄉(xiāng)滄州的代表和特色,激發(fā)學生對家鄉(xiāng)的熱愛,調(diào)動學生解決問題的激情。之后,給出一道練習題:
據(jù)悉,滄州鐵獅子展館門票標價是20元/張,近期正在對團體購票進行優(yōu)惠活動,有兩種活動方案:方案一是團隊中每位游客按標價8折購買;方案二是團隊中除5張按標價購買外,其余按標價7折購買。如果你是團隊的負責人,你會如何選擇購買方案使整個團隊更合算?
學生獨立思考,并選擇自己喜歡的方法解決問題。
[設計意圖] 八年級學生對競爭充滿了興趣,我抓住學生的這一心理特征,給出兩個搶答題——勇敢者的游戲,使學生的眼、耳、口、腦得到充分的調(diào)動,并在搶答中品味成功的快樂,提高思維的速度。同時,冠之以
15、生動的題目和形式的練習,將學生的思維活動引入了頂峰,也將本節(jié)課的氣氛帶到極點,在這樣的氣氛中,學生鞏固對新知識的理解,提高了靈活應用新知識的能力。趁著學生情緒高漲,迅速拋出一道就在學生身邊的問題,激發(fā)學生對家鄉(xiāng)的熱愛,調(diào)動學生解決問題的激情,讓學生激情澎湃的進入問題的解決過程中,本題及時的鞏固教學效果,進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識,更好地促進學生對本節(jié)課難點的理解和應用,幫助學生不斷完善新的認知結(jié)構(gòu)。
(五)分享你我收獲
在課堂臨近尾聲時,向?qū)W生提出:通過今天的學習,你有什么收獲?你印象最深的是什么?
[設計意圖] 學生回顧本節(jié)課所學的知識、技能和思想、方法。通過提問的方式,鼓勵學生暢所
16、欲言總結(jié)對本節(jié)課的收獲和體會。培養(yǎng)學生歸納和語言表達能力,鼓勵學生從數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學情感等方面進行自我評價。
(六)開拓嶄新天地
布置作業(yè):
一、課堂學習反思
姓 名
日 期
今天數(shù)學課的課題
所學的重要數(shù)學知識
理解得最好的地方
疑惑(或還需進一步理解的地方)
對課堂表現(xiàn)的評價(包括對自己、同學、老師)
所學內(nèi)容在日常生活中的應用舉例
二、必做題:教材P128的練習和習題14.3 第5、6、11題;
選做題:同桌的兩個同學為一個小組,設計一道能用函數(shù)知識解決的實際問題。
[設計意圖] 新課程強調(diào)發(fā)展學生數(shù)學交流的能力,用課堂
17、學習反思給學生提供一種表達數(shù)學思想方法和情感的方式,以體現(xiàn)評價體系的多元化,并使學生嘗試用數(shù)學的眼睛觀察事物,體驗數(shù)學的價值。作業(yè)由必做題和選做題組成,體現(xiàn)分層教學,讓“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”,同時讓課堂中的知識在課下得到延伸,讓學生體會“數(shù)學來源于生活有服務于生活”。
六、教學設計反思
整節(jié)課貫穿以學生為主體的原則;突出數(shù)形結(jié)合的思想;體現(xiàn)數(shù)學建模的價值;滲透應用數(shù)學的意識。關(guān)注學生個性的發(fā)展,讓每一個學生在課堂上都有所感悟,都有著各自的數(shù)學體驗,不同的人在數(shù)學上都得到不同的發(fā)展。
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