概率統(tǒng)計(jì)公式大全[共32頁][共32頁]

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 公式（全） 2011-1-1 第1章 隨機(jī)事件及其概率 （1） 排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 （2） 加法和乘法原理 加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n 某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。 乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn 某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由mn 種方法來完成。 （3） 一些常見排列 重復(fù)排列

2、和非重復(fù)排列（有序） 對(duì)立事件（至少有一個(gè)） 順序問題 （4） 隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。 試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。 （5） 基本事件、樣本空間和事件 在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)： ①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； ②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。 這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示。 基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。 一

3、個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。 為必然事件，為不可能事件。 不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。 （6） 事件的關(guān)系與運(yùn)算 ①關(guān)系： 如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）： 如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。 A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。 屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B

4、不發(fā)生的事件。 A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=Φ，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹? Ω-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。 ②運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， （7） 概率的公理化定 義 設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件： 1 0≤P(A)≤1， 2 P(Ω) =1 3

5、對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有 常稱為可列（完全）可加性。 則稱P(A)為事件的概率。 （8） 古典概型 1 ， 2 。 設(shè)任一事件，它是由組成的，則有 P(A)= P = （9） 幾何概型 若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A， 。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。 （10） 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B) （11） 減法公式 P(A-B)=P(A

6、)-P(AB) 當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B) 當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1- P(B) （12） 條件概率 定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。 條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。 例如：P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) （13） 乘法公式 乘法公式： 更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有 …………。 （14） 獨(dú)立性 ①兩個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。 若事件、相互獨(dú)立，且，則有 若事件，相互獨(dú)立

7、，則可得到與，與，與也都相互獨(dú)立。 必然事件和不可能事件Φ與任何事件都相互獨(dú)立。 Φ與任何事件都互斥。 ②多個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互獨(dú)立。 對(duì)于n個(gè)事件類似。 （15） 全概率公式 設(shè)事件滿足 1兩兩互不相容，， 2 ， 則有 。 （16） 貝葉斯公式 （用于求后驗(yàn)概率） 設(shè)事件，，…，及滿足 1 ，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，

8、 2 ，且， 則 ，i=1，2，…n。 此公式即為貝葉斯公式。 ，（，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果溯因”的推斷。 （17） 伯努利概型 我們作了次試驗(yàn)，且滿足 u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生； u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣； u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。 這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。 用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率， ，。

9、 第二章 隨機(jī)變量及其分布 （1） 離散型隨機(jī)變量的分布律 設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出： 。 顯然分布律應(yīng)滿足下列條件： （1），， （2）。 （2） 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度 設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 ， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。 密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)： 1

10、, 2 , 3 , 4 。 （3） 離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系 積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。 （4） 分布函數(shù) 設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù) 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（– ∞，x]的概率。 分布函數(shù)具有如下性質(zhì)： 1 ； 2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ； 3 ， ； 4 ，即是右連續(xù)的； 5 。 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，； 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變

11、量， 。 （5） 八大分布 0-1分布 即B(1,p) P(X=1)=p, P(X=0)=q 二項(xiàng)分布 即B(n,p) 在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。 ， 其中， 則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。 當(dāng)時(shí)，，，這就是0-1分布，所以0-1分布是二項(xiàng)分布的特例。 泊松分布 即P() 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 ，， k = 0,1,2…， 則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n

12、→∞）。 超幾何分布 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。 幾何分布 ，其中p≥0，q=1-p。 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。 均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即 a≤x≤b 其他， 則稱隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。 分布函數(shù)為 a≤x≤b 0， x

13、 1， x>b。 當(dāng)a≤x1

14、為。 具有如下性質(zhì)： 1 的圖形是關(guān)于對(duì)稱的； 2 當(dāng)時(shí)，為最大值； 若，則的分布函數(shù)為 參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為 ，， 分布函數(shù)為 。 是不可積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x) 且 Φ(0)＝1/2 如果，則 ～ 。 。 （6） 分位數(shù) 下分位表：； 上分位表：。 （7） 函數(shù)分布 離散型 已知的分布列為 ， 的分布列（互不相等）如下： ， 若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。 連續(xù)型 先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的

15、分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布 （1） 聯(lián)合分布 離散型 如果二維隨機(jī)向量=（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)向量。 設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱 為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示： Y X y1 y2 … yj … x1 p11

16、 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … xi pi1 … … 這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） 連續(xù)型 對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a

17、（2） （2） 二維隨機(jī)變量的本質(zhì) （3） 聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)向量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)： （1） （2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即 當(dāng)x2>x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即 （4）

18、（5）對(duì)于 . （4） 離散型與連續(xù)型的關(guān)系 （5） 邊緣分布密度 離散型 X的邊緣分布為 ； Y的邊緣分布為 。 連續(xù)型 X的邊緣分布密度為 Y的邊緣分布密度為 （6） 條件分布 離散型 在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為 在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為 連續(xù)型 在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 ； 在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為 （7） 獨(dú)立性 一般型 F(X,Y)=FX(x

19、)FY(y) 離散型 有零不獨(dú)立 連續(xù)型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判斷，充要條件： ①聯(lián)合概率密度函數(shù)可分離變量。 ②正概率密度區(qū)間為矩形。 二維正 態(tài)分布 其中是5個(gè)參數(shù) 隨機(jī)變量 的函數(shù) 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。 特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。 例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。 （8）二維均勻分布 設(shè)隨機(jī)向

20、量（X，Y）的分布密度函數(shù)為 其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。 例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。 y 1 D1 O 1 x 圖3.1 y D2 1 1 O 2 x 圖3.2 y D3 d c O a b x 圖3.3 （9）二維正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為 其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布， 記為（X，Y）～N

21、（ 由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布， 即X～N（ 但是，若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。 （10） 關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 Z=X+Y 根據(jù)定義計(jì)算： 對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)＝ 兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。 n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。 ， Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max, min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：

22、 分布 設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和 的分布密度為 我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中 所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。 分布滿足可加性：設(shè) 則 t分布 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 可以證明函數(shù) 的概率密度為 我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。 F分布 設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為 我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由

23、度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F～f(n1, n2). 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 （1） 一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型 連續(xù)型 期望 （期望就是平均值） 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n， （要求絕對(duì)收斂） 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)， （要求絕對(duì)收斂） 一維隨機(jī)變量的函數(shù)的期望 Y=g(X) Y=g(X) 方差 D(X)=E[X-E(X)]2，

24、 標(biāo)準(zhǔn)差 ， 矩 ①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即 νk=E(Xk)= , k=1,2, …. ②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即 =， k=1,2, …. ①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即 νk=E(Xk)= k=1,2, …. ②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即 = k=1,2, …. 切比雪

25、夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率 的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。 （2）期望的性質(zhì) （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 （3）方差的性質(zhì) （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=a

26、E(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(XY)=D(X)+D(Y)2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。 （4）常見分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二項(xiàng)分布 np 泊松分布 幾何分布

27、 超幾何分布 均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布 n 2n t分布 0 (n>2) （5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 期望 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的期望 ＝ ＝ 方差 協(xié)方差 對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即 = E(XY)- E(X)E(Y) 與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。 相關(guān)系數(shù) 對(duì)于隨機(jī)變量

28、X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱 = 為X與Y的相關(guān)系數(shù)，有時(shí)可簡記為，且||≤1。 當(dāng)||=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)： 完全相關(guān) 而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。 以下五個(gè)命題是等價(jià)的： ① ； ② cov(X,Y)=0; ③ E(XY)=E(X)E(Y); ④ D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y). 協(xié)方差矩陣 混合矩 對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為： （6）協(xié)方差的性質(zhì) (ⅰ) cov (X, Y) = cov(Y, X

29、); (ⅱ) cov(aX, bY) = abcov(X, Y); (ⅲ) cov(X1+X2, Y) = cov(X1, Y)+cov(X2, Y); (ⅳ) cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(Y). （7）獨(dú)立和不相關(guān) (ⅰ) 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不成立。 (ⅱ) 若（X，Y）～N（）， 則X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于X和Y不相關(guān)。 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 （1） 大數(shù)定律 切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，即D（Xi）

30、…),則對(duì)于任意ε> 0，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望 E（XI）=μ，則上式成為 伯努利大數(shù)定律 設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有 伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。 辛欽大數(shù)定律 設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對(duì)于任意的正數(shù)ε有 （2） 中心極限定理 林德伯格－列維定理

31、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有 此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 設(shè)隨機(jī)變量服從B(n, p)(0

32、 （1） 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 總體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。 個(gè)體 總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。 樣本 我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本

33、的兩重性。 樣本函數(shù) 和統(tǒng)計(jì)量 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱 （） 為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 常見統(tǒng)計(jì) 量及其性質(zhì) 樣本均值 樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩 ，， ，, 其中，為二階中心矩。 （2） 正態(tài)總體下的四大分布 正態(tài)分布 設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù) t分布 設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n

34、-1的t分布。 設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù) 其中表示自由度為n-1的分布。 F分布 設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，而為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù) 其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。 （3） 正態(tài)總體下分布的性質(zhì) 與獨(dú)立。 第七章 參數(shù)估計(jì) （1） 點(diǎn)估計(jì) 矩估計(jì) 設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。

35、又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有 由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。 若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。 極大似然估計(jì) 當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱 為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln. 當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱 為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最

36、大似然估計(jì)量。 若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。 （2） 估計(jì)量 的 評(píng)選 標(biāo)準(zhǔn) 無偏性 設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E （）=，則稱 為的無偏估計(jì)量。 E（）=E（X）， E（S2）=D（X） 有效性 設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若，則稱有效。 一致性 設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有 則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。 若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。 只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。 （3） 區(qū)間

37、 估計(jì) 置信區(qū)間 和 置信度 設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即 那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。 單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì) 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下： （i）選擇樣本函數(shù)； （ii）由置信度，查表找分位數(shù)； （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。 已知方差，估計(jì)均值 （i）選擇樣本函數(shù) (ii) 查表找分位數(shù) （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 未知方差，估計(jì)均值 （i）選擇

38、樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù) （iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 方差的區(qū)間估計(jì) （i）選擇樣本函數(shù) （ii）查表找分位數(shù) （iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 基本思想 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想： 認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，即小概率原理。 為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個(gè)假定導(dǎo)致了一個(gè)不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對(duì)的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用

39、H1表示。 這里所說的小概率事件就是事件（事件即：統(tǒng)計(jì)量K的觀測(cè)值落入拒絕(區(qū))域R，R由給定的顯著性水平α查相應(yīng)的分布表確定。）其概率就是檢驗(yàn)水平α，通常我們?nèi)ˇ?0.05，有時(shí)也取0.01或0.10。 基本步驟 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下： (i) 提出零假設(shè)H0； (ii) 選取統(tǒng)計(jì)量K； (iii) 對(duì)于檢驗(yàn)水平α查表找分位數(shù)λ； (iv) 由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K的觀測(cè)值； 比較的大小，作出判斷：當(dāng)時(shí)否定H0； 否則，認(rèn)為H0相容。 兩類錯(cuò)誤 第一類 錯(cuò)誤 當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值(實(shí)際是指由樣本值計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量K的觀測(cè)值)卻落入了拒絕域（有α的概率 ），

40、但按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)拒絕H0。這時(shí)，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以真當(dāng)假（棄真）”的錯(cuò)誤或第一類錯(cuò)誤，記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即 P{否定H0|H0為真}=； 此處的α恰好為檢驗(yàn)水平。 第二類 錯(cuò)誤 當(dāng)H0為假（即H1為真）時(shí)，而樣本值卻落入了接受域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時(shí)，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以假當(dāng)真（受假）”的錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤，記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即 P{接受H0|H1為真}=。 拒絕域、 接受域 都是針對(duì)零假設(shè)H0而言。 注：零假設(shè) H0

41、總是有等號(hào)（包含大于等于或小于等于）。 兩類 錯(cuò)誤 的 關(guān)系 人們當(dāng)然希望犯兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。但是，當(dāng)樣本容量n一定時(shí)，變小，則變大；相反地，變小，則變大。取定要想使變小，則必須增加樣本容量。 在實(shí)際使用時(shí)，通常人們只能控制犯棄真錯(cuò)誤的概率，即給定顯著性水平α。α大小的選取應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當(dāng)假”時(shí)，則應(yīng)把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，則應(yīng)把α取得大些。 單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn) 條件 零假設(shè) 統(tǒng)計(jì)量 對(duì)應(yīng)樣本 函數(shù)分布 拒絕域 已知 N（0，1） 未知 未知 1