《高考二輪復習文科數(shù)學專題八 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 分類討論》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考二輪復習文科數(shù)學專題八 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 分類討論（78頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）專題八思想方法專題八思想方法 第一講函數(shù)與方程思第一講函數(shù)與方程思想想高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）考點整合考點整合高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）函數(shù)思想函數(shù)思想考綱點擊考綱點擊 對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學知識相結合，通過對數(shù)學的考查，反應考生對數(shù)學思想的掌握程度高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）基礎梳理基礎梳理 一般地，函數(shù)思想就是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質解題，經常利用的性質是：單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構
2、造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質，是應用函數(shù)思想的關鍵，它廣泛地應用于方程、不等式、數(shù)列等問題高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練整合訓練 1(1)(2009年廣州模擬)方程m x有解，則m的最大值為() A1B0 C1 D2 (2)方程ax22x10至少有一個負根的充要條件是() A0a1 Ba1 Ca1 Da0或0a11x 答案：答案：(1)A(2)C高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）考綱點擊考綱點擊方程思想方程思想 1方程的思想就是將所求的量(或與所求的量相關的量)設成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件，列出方程(組)，通過解方程或對方程進行研究，使問題
3、得到解決 2方程的思想與函數(shù)的思想密切相關：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0.通過方程進行研究，方程f(x)a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉化關系十分重要高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練整合訓練 2(1)把長為12 cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是() (2)對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_A.3 32 cm2 B4 cm2 C3 2 cm2 D2 3 cm2 解析：解析：(1)設截
4、成兩段分別為x，y，則xy12，即y12x(0 x12)，兩個正三角形的邊長分別為 x3，y3， 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） S34x3234y32336(x2y2)336x212x2 318(x6)236 當 x6 時，Smin2 3. (2)設f(p)p(x1)x24x3，f(p)為關于p的一次函數(shù)，要使f(p)0對p0,4恒成立，則 解得x3或x1. 答案：答案：(1)D(2)x3或x1 f0 x24x30，f4x210. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）考綱點擊考綱點擊函數(shù)與方程的思想在解題中的應用函數(shù)與方程的思想在解題中的應用 對數(shù)學能力的考查，強調“以能力立意
5、”，就是以數(shù)學知識為載體，從問題入手，把握學科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學觀點組織材料，側重體現(xiàn)對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）基礎梳理基礎梳理 1函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題； (2)在研究問題中通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的 2方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面
6、： (1)解方程或解不等式； (2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應用； (3)需要轉化為方程的討論，如曲線的位置關系等； (4)構造方程或不等式求解問題高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練整合訓練3設 a 為非零實數(shù)，函數(shù) y1ax1ax（xR，且 x1a）的反函數(shù)是( ) Ay1ax1axxR，且x1a By1ax1axxR，且x1a Cy1xa1x(xR，且 x1) Dy1xa1x(xR，且 x1) 答案：答案：D高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）高分突破高分突破高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科
7、）運用函數(shù)與方程思想解決字母或運用函數(shù)與方程思想解決字母或式子的求值或取值范圍問題式子的求值或取值范圍問題 已知a，b，cR R，abc0，abc10，求a的取值范圍 思路點撥：思路點撥：本題可以根據(jù)題設條件將b，c的和與積用a表示，構造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判別式0，再構建a的不等式求解或根據(jù)題設條件將a表示成c的函數(shù)轉化為求函數(shù)的值域問題求解 解析：解析：法一(方程思想)：因為bca， bc1a. 所以b，c是方程x2ax1a0的兩根， 所以a24(1a)0，即a24a40，高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）解得a|a22 2或 a22 2 法二(函數(shù)思想)：由已
8、知 abc0abc10， 得bcbc10，如果c1，則b1b10，即20，不成立，因此c1，所以 bc1c1，a1c1cc. 令 f(c)1c1ccc211c， 所以 f(c)c22c11c2. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）令f(c)0，則c1 2. 當c1 2時，f(c)0， 函數(shù)f(c)在區(qū)間(，1 2)上是減涵數(shù)； 當1 2c1時，f(c)0， 函數(shù)f(c)在區(qū)間(1 2，1)上是增函數(shù)； 當1c1 2時，f(c)0， 函數(shù)f(c)在區(qū)間(1,1 2)上是增函數(shù)， 當c1 2，f(c)0，函數(shù)f(c)在區(qū)間(1 2，)上是減函數(shù) 函數(shù)f(c)c211c的圖象如圖所示 高考高考
9、二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）所以f(c)f(1 2)22 2或 f(c)f(1 2)22 2， 所以a的范圍是a|a22 2或a22 2 方法三(函數(shù)思想)：同法二， 可令f(c)1c1cc2(1c)21c， 當1c0時， f(c)221c21c22 2； 當1c0時， f(c)22c12c122 2. 所以a的范圍是a|a22 2或a22 2 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練 1若a、b是正數(shù)，且滿足abab3，求ab的取值范圍解析：法一：(看成函數(shù)的值域) abab3，a1， ba3a1，而b0，a3a10， 即a1或a3. 又a0，a1，故a10. abaa3
10、a1a125a14a1 (a1)4a159.當且僅當a14a1， 即a3時取等號 又a3時，(a1)4a15是關于a的單調增函數(shù)， ab的取值范圍是9，) 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）法二：(看成不等式的解集) a，b為正數(shù)，ab2 ab， 又abab3，ab2 ab3. 即( ab)22 ab30， 解得 ab3或 ab1(舍去)， ab9. 法三：若abt，則abt3， a，b可看成方程x2(t3)xt0的兩個正根 從而有 t324t0abt30abt0， 即 t1或t9t3t0. 解得t9，即ab9. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）運用函數(shù)與方程思想解決方程問題運用
11、函數(shù)與方程思想解決方程問題 如果方程cos2xsin xa0在 上有解，求a的取值范圍0，2 思路點撥：思路點撥：可分離變量為acos2xsin x，轉化為確定的相關函數(shù)的值域 解析：解析：法一：把方程變形為acos2xsin x.設f(x)cos2xsin xx0，2. 顯然當且僅當a屬于f(x)的值域時，af(x)有解 f(x)(1sin2x)sin x sin x12254， 且由x0，2知sin x(0,1 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）易求得f(x)的值域為(1,1故a的取值范圍是(1,1法二：令tsin x，由x0，2，可得t(0,1 將方程變?yōu)椋簍2t1a0.依題意，該
12、方程在(0,1上有解設f(t)t2t1a，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t ，如下圖所示12 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）因此f(t)0在(0,1上有解等價于 f00f10， 即 1a01a0，1a1. 故a的取值范圍是(1,1 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練 2如果方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)(aR)有解，求實數(shù)a的取值范圍解析：由原方程可得 x10 3x0 ax0 x13xax 由得1x3，原方程等價于(x1)(3x)ax(1x3)，即ax25x3(1x3)x522134(1x3)， 易求得值域為1，134，故a的取值范圍是1，134.
13、高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題 (1)已知x，yR，且2x3y2y3x，那么() Axy0Bxy0 CXy0 DXy0 (2)設不等式2x1m(x21)對滿足m2,2的一切實數(shù)m都成立，求x的取值范圍 思路點撥：思路點撥：(1)先把它變成等價形式2x3x2y3y，再構造輔助函數(shù)f(x)2x3x，利用函數(shù)單調性比較 (2)此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關于x的不等式討論，若變換一個角度，以m為變量，使f(m)(x21)m(2x1)，則問題轉化為求一次函數(shù)(或常函數(shù))f(x)的值在2,2內恒負時，參數(shù)x應滿足的條件高
14、考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）解析：解析：(1)設f(x)2x3x.因為y2x，y3x均為R上的增函數(shù)，所以f(x)2x3x是R上的增函數(shù)又由2x3x2y3y2y3(y)，即f(x)f(y)，xy，即xy0.(2)設f(m)(x21)m(2x1)，則不等式2x1m(x21)恒成立f(m)0恒成立在2m2時，f(m)0 ? f22x212x10f22x212x10， 解得712x312. 答案：(1)B (2)712，312 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練 3設函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取到極值 (1)求a，b的值； (2)若對于任意的x
15、0,3都有f(x)c2成立，求c的范圍； (3)若方程f(x)c2有三個根，求c的取值范圍 解析：解析：(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb) 因為函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取到極值，所以 ，解得 f10f20 a3b4，當 a3b4時， 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1)當x0；當1x2時，f(x)2時，f(x)0，所以此時1與2都是極值點，因此 ，f(x)2x39x212x8c.(2)由(1)知函數(shù)yf(x)在x1處取到極大值f(1)58c，在x2處取到極小值f(2)48c.因為f(0)8c，f(3)98
16、c，所以當x0,3時，函數(shù)yf(x)的最大值是f(3)98c，所以要使對于于任意的x0,3都有f(x)c2成立，需要f(3)98cc2，c28c90，解得c1或c9. a3b4 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） (3)由(1)(2)知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(，1)上是增函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)， yf(x)在x1處取到極大值f(1)58c， 在x2處取到極小值f(2)48c， f(1)f(2) 所以要使方程f(x)c2有三個根， 需要f(2)c2f(1)， 即48cc258c，解得42 5c4 21或4 21c42 5. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）
17、運用函數(shù)與方程思想解決運用函數(shù)與方程思想解決不等式應用問題不等式應用問題 平面內邊長為a的正三角形ABC，直線DEBC，交AB、AC于D、E，現(xiàn)將ABC沿ED折成60的二面角，求DE在何位置時，折起后A到BC的距離最短，最短距離是多少？ 思路點撥：思路點撥：本題首先借助于幾何作圖找出折起來后A到BC的距離，然后選定合理變量建立距離的目標函數(shù) 解析：解析：如圖所示，A沿DE折起到A，過A作AGBC于G，交DE于F，連結AF、AG，高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）ABC為正三角形，DEBC，AFDE，AFDE，同時，G、F分別為BC、DE的中點，DE平面AFG，BC平面AFG，AFG是二面
18、角AEDB的平面角由題知AFG60，AG為所求在AFG中，設FGx，則AF ax.由余弦定理得AG2AF2FG22AFFGcos 6032 32ax2x2232ax xcos 60 3x2323ax34a23x34a2316a2， 當x34a時，(AG)min34a. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練 4統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/小時)的函解析式可以表示為 (0 x120)已知甲、乙兩地相距100千米 (1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地
19、到乙地的耗油量最少？最少為多少升？y1128000 x33x808 解析：解析：(1)當x40時，汽車從甲地到乙地行駛了 2.5小時，要耗油 故當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升 10040 1128000403380408 2.517.5(升) 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） (2)當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，設耗油量為h(x)升，依題意得100 x h(x)1128000 x3380 x8 100 x 11280 x2800 x154(0 x120) h(x)x640800 x2x3803640 x2(0 x120) 令h
20、(x)0，得x80. 當x(0,80)時，h(x)0，h(x)是增函數(shù) 當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25. 因為h(x)在(0,120上只有一個極值，所以它是最小值 故當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）祝祝您您高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）專題八思想方法專題八思想方法第二講數(shù)形結合思想第二講數(shù)形結合思想 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）考點整合考點整合高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）以數(shù)輔形與以形助數(shù)以數(shù)輔形與以形助數(shù)基礎梳理基礎梳理 數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形
21、助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練整合訓練 1(1)(2009年全國卷文)函數(shù)ylog2 的圖象() A關于原點對稱B關于直線yx對稱 C關于軸對稱 D關于直線yx對稱 (2)(2010年安徽卷)設 則a，b，c的大小關系是() Aacb Babc Ccab Dbca2x2x 答案：答案：
22、(1)A(2)A232555322,555abc高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）代數(shù)問題幾何化與幾何問題代數(shù)化代數(shù)問題幾何化與幾何問題代數(shù)化 數(shù)形結合思想的實質、關鍵及運用時應注意的問題：其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參，合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確定參數(shù)的取值范圍基礎梳理基礎梳理高考高考
23、二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 2(1)方程 的實數(shù)解的個數(shù)是() A2B3 C4 D以上均不對 (2)(2010年安徽卷)設abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()整合訓練整合訓練sinx414x 答案：答案：(1)B(2)D高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）數(shù)形結合解決廣泛的數(shù)學問題數(shù)形結合解決廣泛的數(shù)學問題 基礎梳理基礎梳理 數(shù)形結合思想解決的相關問題 數(shù)形結合思想應用廣泛，高考試題對數(shù)形結合的考查主要涉及： (1)考查集合及其運算問題(韋恩圖與數(shù)軸) (2)考查用函數(shù)圖象解決有關問題(如方程、不等式、函數(shù)的有關性質等) (3)考查運用向量解決有關問題 (4)考查三
24、角函數(shù)的圖象及其應用 (5)解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結合高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練整合訓練 3(2010年浙江卷)已知x0是函數(shù)f(x)2x 的一個零點若x1(1，x0)，x2(x0，)，則() Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0 Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)011x 答案：答案：B 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）高分突破高分突破高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）用數(shù)形結合思想解決方程、不等式用數(shù)形結合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關性質問題及函數(shù)的有關性質問題 (1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關系：f
25、(x1)f(x1)；當x1,1時，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個數(shù)是()A5B7C9D10 (2)設有函數(shù)f(x)a 和g(x) x1，已知x4,0時恒有f(x)g(x)，求實數(shù)a的范圍x24x 43 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 思路點撥：思路點撥：(1)在同一坐標系中畫出yf(x)和ylg x的圖象，由它們交點個數(shù)判斷方程的解的個數(shù)； (2)先將不等式f(x)g(x)轉化為 然后在同一坐標系中分別作出函數(shù)y 和y x1a的圖象，移動y x1a的圖象使其滿足條件，數(shù)形結合得要滿足的數(shù)量關系 解析：解析：(1)由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為0,1的函數(shù)又f(x
26、)lg x，則x(0,10)，畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù)由圖象可知共9個交點x24x43x1a， x24x 43 43 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）(2)f(x)g(x)， 即a x24x43x1， 變形得 x24x43x1a， 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）令y y x1a變形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓；表示斜率為 ，縱截距為1a的平行直線系設與圓相切的直線為AT則有解得a5或a (舍去)要使f(x)g(x)在x4,0時恒成立，則所表示的直線應在直線AT的上方或與它重合，故有a5，a5.x24x 43 |432
27、01a|432122 53 43 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練 1已知定義在R R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 解析：因為定義在R R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)，由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于直線x2對稱且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,0
28、上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1x2x3x4由對稱性知x1x212，x3x44所以x1x2x3x41248.高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）用數(shù)形結合解決參數(shù)、代數(shù)用數(shù)形結合解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問題式的最值、取值范圍問題 (1)已知x，y滿足條件 1，求y3x的最大值與最小值 (2)已知實數(shù)x、y滿足不等式組 ，求函數(shù)z 的值域x216y225 x2y24x0 y3x1 思路點撥：思路點撥：(1)此題令by3x，即y3xb，視b為直線y3xb的截距，而直線與橢圓必有公共點，故相切時，b有最值 (2
29、)此題可轉化成過點(1，3)與不等式組表示區(qū)域的點的連線的斜率的范圍 x2y24x0 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 解析：解析：(1)令y3xb，則y3xb，原問題轉化為在橢圓 上找一點，使過該點的直線斜率為3，且在y軸上有最大截距或最小截距 由圖可知，當直線y3xb與橢圓 相切時，有最大或最小的截距 將y3xb代入 ，x216y2251 x216y2251 x216y2251 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 得169x296bx16b24000， 令0，解得b13. 故y3x的最大值為13，最小值為13. (2)由解析幾何知識可知，所給的不等式組表示圓x2y24的右半圓
30、域(含邊界)，高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） z 可改寫為y3z(x1)， 把z看作參數(shù)，則此方程表示過定點P(1，3)，斜率為z 的直線系 那么所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2y24(x0)內或邊界上任一點與過點P(1，3)的直線斜率的最大、最小值 由圖顯見，過點P和點A(0,2)的直線斜率最大，zmax 5. 過點P向半圓作切線，切線的斜率最小 設切點為B(a，b)，則過B點的切線方程為axby4.又B在半圓周上，P在切線上，則有 y3x1 2301 a2b24a3b4，又a0， 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）解得 a23 65b6 65，因此zmin2 633.
31、綜上可知函數(shù)的值域為2 633，5 . 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練跟蹤訓練2若例題(2)中條件不變，求5x4y的最大值與最小值 解析：解析：令5x4yb. 原問題轉化為：在橢圓 1上求一點，使過該點的直線5x4yb與之相切即可 由 50 x210bxb24000. 由0，得b ，故5x4y的最大值為 ， 最小值為 . 5x4yb，x216y2251 20 2 20 2 20 2 x216y225 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）祝祝您您高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）專題八思想方法第三講分類討論思想 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）考點整合高考高考
32、二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）分類討論解決的主要問題 基礎梳理 分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練 1設常數(shù)a0，橢圓x2a2a2y20的長軸長是短軸長的2倍，則a等于() A2或B2C.D. (2)函數(shù)y 的值域是_12 12 2或22 sin x|sin x|cos x|cos x| 解析：(1)方程化為 y2
33、1，若焦點在x軸上，則有a2；若焦點在y軸上，則有2a1，a . 答案：(1)A(2)2,0,2x2a2 12 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）分類討論的多種類型基礎梳理 1由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等 2由性質、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等 3由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等高考高考二輪二
34、輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 4由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等 5由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法 6由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）整合訓練 2(1)已知正ABC的邊長為3，到這個三角形的三個頂點距離都等于1的平面的個數(shù)是() A2 B3 C5 D8 (2)若loga 1，則a的取值范圍是_23 解析：(1)對三
35、個頂點和平面的位置分類：在平面同一側有2個，在平面的兩則有6個 共有268個 答案：(1)D(2) (1，)0，23 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）高分突破高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）根據(jù)數(shù)學的概念分類討論 設0 x1，a0，且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小 思路點撥：先利用0 x1確定1x與1x的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與0的大小關系，從而比較出大小 解析：0 x1， 01x1,1x1,01x21. 當0a1時，loga(1x)0，loga(1x)0， 所以|loga(1x)|loga(1x)| loga(1x)log
36、a(1x) loga(1x2)0；高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）當a1時，loga(1x)0，loga(1x)0.所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0.由、可知，|loga(1x)|loga(1x)|.高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練 1(2009年北京理)若函數(shù)f(x) 則不等式|f(x)| 的解集為_ 1x， x 013x， x 0 13 解析：(1)由|f(x)|13 ? x01x13? 3x0. (2)由|f(x)|13 ? x013x13? 0 x1. 不等式|f(x)|13的解集為x|3x1， 答案
37、：3,1 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）根據(jù)運算的要求或性質、定理、公式的條件分類討論 在等差數(shù)列an中，a11，滿足a2n2an，n1,2，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bn (p0)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.nana p 思路點撥：(1)由a2n2an，n1,2，求出公差d，即得an的通項公式 (2)先求bn的通項公式，然后用錯位相減可求Tn，但由于公比q不確定，故用等比數(shù)列前n項公式求Tn時要分類討論 解析：(1)設等差數(shù)列an的公差為d， 由a2n2an得a22a12，所以da2a11. 又a2nanndann2an， 所以，ann.高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（
38、文科）(2)由bn 得bnnpn，所以Tnp2p23p3(n1)pn1npn.當p1時，Tn .當p1時，pTnp22p3(n1)pnnpn1，(1p)Tnpp2p3pnnpn1，nana pp1pn1pnpn1， Tnp1pn1p2npn11p 綜上所述，Tn nn12 p1p1pn1p2npn11p p1 nn12 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練 2(2009年山東卷理)若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_ 解析：設函數(shù)yax(a0，且a1)和函數(shù)yxa，則函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，就是函數(shù)yax(a0，且a1與函數(shù)y
39、xa有兩個交點，由圖象可知當0a1時兩函數(shù)只有一個交點，不符合，當a1時，因為函數(shù)yax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線yxa所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點所以實數(shù)a的取值范圍是a1. 答案：a1高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）根據(jù)字母的取值情況分類討論 已知函數(shù)f(x)x2eax，其中a0，e為自然對數(shù)的底數(shù) (1)討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最大值 思路點撥：(1)先對f(x)求導，再由f(x)在不同區(qū)間上的符號可討論f(x)的單調性 (2)f(x)在0,1上的最大值在0,1上的端點處或極值點處取得，需討論f(x)0的零
40、點是否是在該區(qū)間上 解析：(1)f(x)x(ax2)eax. 當a0時，令f(x)0，得x0. 若x0，則f(x)0，從而f(x)在(0，)上單調遞增； 若x0，則f(x)0，從而f(x)在(，0)上單調遞減高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）當a0時，令f(x)0，得x(ax2)0，故x0或x .若x0，則f(x)0，從而f(x)在(，0)上單調遞減；若0 x ，則f(x)0，從而f(x)在 上單調遞增；若x ，則f(x)0，從而f(x)在 上單調遞減(2)當a0時，f(x)在區(qū)間0,1上的最大值是f(1)1.當2a0時，f(x)在區(qū)間0,1上的最大值是f(1)ea.當a2時，f(x)在
41、區(qū)間0,1上的最大值是f .綜上所述，當a0時，f(x)max1；當2a0時，f(x)maxea；當a2時，f(x)max .2a 2a 0，2a 2a， f2a4a2e2. 4a2e2 2a 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練3數(shù)列an的通項ann2cos2 sin2 ，其前n項和為Sn. (1)求Sn；(2)bn ，求數(shù)列bn的前n項和Tn.n3 n3 S3nn4n 解析： (1)由于cos2n3sin2n3 cos2n3，故 S3k(a1a2a3)(a4a5a6)(a3k2)a3k1a3k 122223242522623k223k122(3k)2 13231218k52k9
42、k42， 2222223231456322kkk 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）S3k1S3ka3kk49k2， S3k2S3k1a3k1 k49k23k12212k 3k2316， 故Sn n316， n3k2n113n6，n3k1n3n46， n3k(kN*) (2)bnS3nn4n9n424n， Tn1213422429n44n， 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）4Tn12132249n44n1， 兩式相減得 3Tn12139494n19n44n 12139494n1149n44n8122n39n22n1， 故Tn831322n33n22n1. 119994132444
43、nnn高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論 長方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC邊上取一點P，使|BP|t，線段AP的垂直平分線與長方形的邊的交點為Q、R時，用t表示|QR|. 思路點撥：建立平面直角坐標系，設法求出點Q、R的坐標，利用兩點間的距離公式建模 解析：如圖所示，高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科） 分別以BC、AB所在的邊為x、y軸建立坐標系 kAP ， kQR . 又AP的中點的坐標為 ， QR所在的直線方程為y2 由于t的取值范圍的不同會導致Q、R落在長方形ABCD的不同邊上，故需分類討論： 當|PD|AD|8時， 易知|PC|
44、 4. 當0t8 時，Q、R兩點分別在AB、CD上，對方程，分別令x0和x8，4t t4 t2，2 t4xt2 |PD|2|DC|2 可得Q0，2t28，R8，22tt28. 4 3 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）這時|QR|2 16t2， 當84 3t4時， Q、R兩點分別在AB、AD上，對方程分別令x0和y4，可得Q0，2t28，R8tt2，4 . 這時|QR|8tt222t282， 當4t8時，Q、R兩點分別在BC、AD上， 對方程分別令y0和y4， 可得Qt28t，0 ，R8tt2，4 . 這時|QR|4t216t. 綜上所述：當0t84 3時：|QR|216t2； 當84 3t4時，|QR|8tt222t282； 當4t8時，|QR|4t216t. 高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）跟蹤訓練 4四面體的四個頂點到平面M的距離之比為1113，求滿足條件的平面M的個數(shù) 解析：4個頂點都在M同側，則有： 14個(平面)； 距離比為3的頂點與其他3個頂點不同側，則有： 14個(平面)； 距離比為3的頂點與其他3個頂點中的1個同側，則有： 112(平面)； 距離比為3的頂點與其他3個頂點中的2個同側，則有： 112(平面)， 共有44121232個(平面)14C14C14C13C14C23C高考高考二輪二輪數(shù)學（文科）數(shù)學（文科）祝您
高考二輪復習文科數(shù)學專題八 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 分類討論
