翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅

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1、1/ 6 作者 :楊金玨翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅硬幣問題是公務(wù)員考試出現(xiàn)的 數(shù)學(xué)運(yùn)算題型，屬于邏輯類考題，這類問題變化復(fù)雜，對(duì)考生的推理能力要求 高。博大弘仕楊金玨老師將在這里介紹翻硬幣問題的快速解題技巧。 首先要明白什么是 “翻硬幣問題 ”，通常題面形式是這樣的： M 個(gè)硬幣全部正面朝上，現(xiàn)在要求每次必須同時(shí)翻轉(zhuǎn)其中的 N 個(gè)硬幣，至 少翻轉(zhuǎn)多少次才能使全部硬幣反面朝上？ 那么可能出現(xiàn)四種情況： 硬幣總數(shù)（M）每次翻硬幣數(shù)量（N） 奇偶 偶奇 偶偶 上面四種情況中， 只有當(dāng)硬幣總數(shù)是奇數(shù)個(gè)并且每次翻偶數(shù)個(gè)硬幣時(shí)， 不 能完成要求，其他三種都可以完成翻轉(zhuǎn)。 為什么不能完成這種情況呢？根據(jù)奇

2、偶的基本性質(zhì)可以推導(dǎo)出來，每個(gè)硬 幣必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次才能實(shí)現(xiàn)反面朝上，現(xiàn)在總數(shù)是奇數(shù)，那么所有硬幣翻轉(zhuǎn)總 數(shù)就是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，其結(jié)果必定是個(gè)奇數(shù)。但是每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)個(gè)硬幣，那么硬 幣被翻動(dòng)的總數(shù)為偶數(shù)乘以翻動(dòng)次數(shù)，結(jié)果必定是偶數(shù)。所以這種情況下是不 可能完成任務(wù)的。 翻硬幣問題形式多樣，這里總結(jié)出了一個(gè)基本的解題步驟。 第一步：判斷總個(gè)數(shù)是否與每次翻的個(gè)數(shù)呈倍數(shù)關(guān)系。如果是倍數(shù)關(guān)系， 翻動(dòng)次數(shù)=MKN第二步：如果沒有倍數(shù)關(guān)系，考慮硬幣總數(shù)的奇偶情況。 當(dāng)總數(shù)為偶數(shù) 1）每次翻的個(gè)數(shù)是總數(shù)減一 【例 1】現(xiàn)有 6 個(gè)一元面值硬幣正面朝上放在桌子上，你可以每次翻轉(zhuǎn) 5 個(gè) 2/ 6 硬幣（必須要翻轉(zhuǎn) 5

3、個(gè)），問你最少要經(jīng)過幾次翻轉(zhuǎn)可以使這 6 個(gè)硬幣全部反 面朝上？ A.5次B.6次C.7次D.8次 【解析】本題屬于歸納推理問題。一個(gè)硬幣要翻面，需要翻奇數(shù)次，一共 有 6 個(gè)硬幣，每一次翻轉(zhuǎn) 5 個(gè)，那么必須翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次才能保證每一枚硬幣翻轉(zhuǎn) 奇數(shù)次，故排除A、C。因?yàn)槊看畏鍌€(gè)，則有一個(gè)沒被改變，或者說每次是在 原來的基礎(chǔ)上變一個(gè)，一共有 6 個(gè)硬幣，每次變一個(gè)，那么需要 6 次才能全部 變完。具體過程如下： 故需要 6 次，故正確答案為 B。 這類問題的解答公式為：翻動(dòng)次數(shù)= M 翻動(dòng)方法：只要按照第一次第一個(gè)不翻，第二次第二個(gè)不翻，按照此方法 進(jìn)行操作就可以成功。 （ 2）除了上述以外情

4、況，要計(jì)算翻動(dòng)次數(shù)，我們采用余數(shù)分析法。 首先用總數(shù)（M）嗨次翻的個(gè)數(shù)（N）,表達(dá)式為： MKN = a b 上面式子中，a為商，b為余數(shù)。那么我們把余數(shù)分成三種情況： b=1,翻動(dòng)次數(shù)=a+1 【例 2】共有 10 個(gè)硬幣正面朝上，每次翻動(dòng) 3個(gè)，總共翻動(dòng)幾次才能反面 朝上？ A.3次B.4次C.5次D.6次 【解析】利用公式：MN = 1033 . 1余數(shù)b= 1,翻動(dòng)次數(shù)=3+1 = 4。 這個(gè)公式在怎么推導(dǎo)出來的呢？ 此題計(jì)算為10* 3=3，余數(shù)為1,我們需要改寫余數(shù)為10 3=2，相 當(dāng)于翻了 2 次 3 個(gè)硬幣，還剩下 4 個(gè)硬幣沒有翻過來。 OOOOOO OOOO XXXXXX

5、 OOOO 3/ 6 那么我們將這 4個(gè)硬幣分成兩組,每組兩個(gè)。接下來翻其中的 2個(gè)硬幣和 前面已經(jīng)翻成反面的 1 個(gè)硬幣。 XXXXXO XXOO 最后把剩下的兩個(gè)正面硬幣和剛才翻成正面的那個(gè)硬幣一起翻過來。 XXXXXX XXXX 只要余數(shù)是偶數(shù),都可以采用這樣的方法翻轉(zhuǎn)。 再回過頭來看下最初計(jì)算式子，10 3=3,我們改寫余數(shù)為 10 3=2;商減少了 1,余數(shù)變成了 1+3=4,余數(shù)加除數(shù)。根據(jù)奇偶基本性 質(zhì)，這里變化的余數(shù)一定是個(gè)偶數(shù)，因?yàn)楸怀龜?shù)是偶數(shù)，被除數(shù) 二除數(shù) 商+1, 要使余數(shù)為 1,除數(shù)和商必定也是奇數(shù)。所以變化后的余數(shù)等于 1+除數(shù),結(jié)果 必定為偶數(shù)。偶數(shù)就需要 2 步

6、完成翻轉(zhuǎn),總體上在原來商的基礎(chǔ)上只增加了 1, 所以余數(shù)b= 1時(shí)，翻動(dòng)次數(shù)=a+1。 b =偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=a+2 【例 3】共有 92個(gè)杯口朝上的杯子,每次翻動(dòng) 11 個(gè)杯子,使其杯口朝下, 總共翻動(dòng)幾次才能讓所有杯子反面朝下？ A.9 次 B.10 次 C.11 次 D.12 次 【解析】利用公式：MN = 92 1牡84余數(shù)b =偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=8+2 =10。 翻動(dòng)方法和上一道例題相同，將最后剩下的 4 個(gè)杯子分成兩組，先翻其中 的 2 個(gè)和前面已經(jīng)翻過的 2 個(gè)，然后剛好剩下 4 個(gè)杯口朝上的杯子?？偣残枰?10 次。翻動(dòng)方法如圖所示： （第 8 次） XXXXXX XXXXXXO

7、OOO （第 9 次）XXX000 000 000 XXOO （第 10 次） XXXXXX XXX XXX XXXX b =奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=a+3 4/ 6 【例 4】有 18個(gè)房間開著燈，如果每次同時(shí)撥動(dòng) 5 個(gè)房間的開關(guān)，經(jīng)過幾 次撥動(dòng)，燈全部關(guān)上？ A.3次B.4次C.6次D.幾次也不能 【解析】利用公式：MN = 1853 3余數(shù)b =奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=3+3= 6。 余數(shù)是奇數(shù)時(shí)，為什么要翻 3 次呢？是如何翻轉(zhuǎn)的呢？下面我們用硬幣翻 轉(zhuǎn)來代替燈的開關(guān)。 首先完成三次翻轉(zhuǎn)，如圖所示： 00000 00000 00000 000 XXXXX 00000 00000 000 XXXXX

8、XXXXX 00000 000 XXXXX XXXXX XXXXX 000 接下來將剩下的 3 個(gè)全部翻轉(zhuǎn)，并且把前面翻過來的 2 個(gè)再次翻轉(zhuǎn)。 XXXXX XXXXX XXX00 XXX 現(xiàn)在就和前面講的余數(shù)是偶數(shù)情況相同了。把剩下的分成兩組，先翻其中 的一組，不夠的在前面翻過里面翻轉(zhuǎn)。 0000X XXXXX XXXX0 XXX 最后剩下的剛好翻完。 XXXXX XXXXX XXXXX XXX 前面我們討論的是總數(shù)是偶數(shù)，總數(shù)是奇數(shù)時(shí)有兩種情況： （1）每次翻轉(zhuǎn)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，那么按照上面講的余數(shù)分析法解決。 MKN = a b b=1,翻動(dòng)次數(shù)=a+1 5/ 6 b =偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=a+

9、2 b =奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)=a+3 （2）每次翻轉(zhuǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，這種情況下無法完成任務(wù)。【例 5】有 7 個(gè) 杯口全部向上的杯子， 每次將其中 4 個(gè)同時(shí)翻轉(zhuǎn)， 經(jīng)過幾次翻轉(zhuǎn)， 杯口可以全 部向下？ 【 09 山西】 A.3次B.4次C.5次D.幾次也不能 【解析】根據(jù)公式，不可能完成任務(wù)。所以選 D。要想杯子杯口朝下的 話，需要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，所以七個(gè)杯口要全部向下的話，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)為 7 個(gè)奇 數(shù)的和，必定也是奇數(shù)，所以總共也是需要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次才行。但是每次翻轉(zhuǎn)其 中 4 個(gè)，不論翻多少次總數(shù)都是偶數(shù)，因此無論翻幾次都不行。正確答案為 D。 下面我們總結(jié)一下翻硬幣問題的解題方法。 M 個(gè)硬幣每次翻 N 個(gè)需要幾次 一、 倍數(shù)成立 m/n 二、 無倍數(shù) 1 、m 為奇數(shù)， n 為偶數(shù)，無法完成 2、 m 為偶數(shù)時(shí) 當(dāng) n 為奇數(shù)且比 m 小 1 是，翻 m 次 3、其余情況 m/n=a . b 當(dāng) b 為 1 ，則需 a+1 b 為偶數(shù)，則需 a+2 b 為奇數(shù)，則6/ 6 需 a+3