高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第15單元第80講 曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用 湘教版

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1、了解曲線的參數(shù)方程的意義，掌握直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程并能靈活運(yùn)用，理解直線和圓的參數(shù)的幾何意義222222221()1 A111B111C111D11.11xcosCysinxyxyxyxy曲線 ：為參數(shù)的普通方程為C1() 2A BC 2. Dxttty 方程為參數(shù) 表示的曲線是一條直線兩條直線一條射線兩條射線10202 . D2(22.)xttxttxyxx 對(duì)于，當(dāng)解 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，則方程化為或，表示兩條射線，析：故選1 5(21)(02 )5 A30 B20C10 3.D 250 xcosPysinxyxyxyxy 若，為圓參數(shù)，的弦的中點(diǎn)，則該弦所在的直線方程為221

2、251,011 30A.CPxyCkxy 圓的方程化為，則圓心為，所以，所以弦所在的直線的斜率為，所以解直線方程為，析：故選1,24 4. .圓心在，半徑為 的圓的參數(shù)方程是14()24xcosysin 為參數(shù)22121 . 5 xyxyxy若實(shí)數(shù) ， 滿足，則的最大值為，最小值為221()21cos2sin 5115cos()11125.xcosxyysinxyxy 由，令為參解析：最大值為，最小值為數(shù) ，所以，所以的_()1(xytttM xyxyt在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) ， 都是某個(gè)變數(shù) 的函數(shù)，即為參數(shù) ，并且對(duì)于 的每一個(gè)允許值，由該方程組所確定的點(diǎn)，都在這條曲

3、線上，那么此方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) ，之間的變數(shù) 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程，前面學(xué)過的直接給出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程在曲線的參數(shù)參數(shù)方方程中程的定義，要明確參數(shù)的取值范圍，這個(gè)范圍決定了曲線的存在范圍，并且兩者要保持一致 1_.()2_2xy由參數(shù)方程化為普通方程消參數(shù)的方法有代入法、加減 或乘除 消元法、三角代換法等消參時(shí)應(yīng)特別注意參數(shù)的取值范圍對(duì) ， 的限制由參數(shù)方程化為普通方程一般是唯一的由普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)選法各種各樣，所以由普通方參數(shù)方程和普通方程的互化程化為參數(shù)方程是不唯一的 00000001() ()()()_|3.M

4、xyttMxyM xyM Mt 標(biāo)準(zhǔn)式：經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為為參數(shù) ，其中 是直線上的定點(diǎn)，到動(dòng)點(diǎn)， 的直線參數(shù)方程的，即幾種形式000000()()0()()0()()0.xyxytxyxytxyxytt當(dāng)點(diǎn) ，在點(diǎn)，的上方時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn) ，在點(diǎn)，的下方時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn) ， 與點(diǎn)，重合時(shí)，以上反之亦然由于直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中 具有這樣的幾何意義，所以在解決直線與二次曲線相交的弦長(zhǎng)和弦的中點(diǎn)問題時(shí)，用參數(shù)方程來解決方便了很多 0000 2() ()()()()txyabM xyxytatbtM xyxyxy點(diǎn)斜式：為參數(shù) 其中，表示該直線上的一點(diǎn)，表示直線的斜率當(dāng) ， 分別表示點(diǎn)，在

5、軸正方向與 軸正方向的分速度時(shí)， 就具有物理意義時(shí)間，相應(yīng)的 ， 則表示點(diǎn)，在軸正方向、 軸正方向上相對(duì)，的位移 2220022221 () 21(0) () 4 xxyyrxyabab圓的參數(shù)方程為為參數(shù) 圓錐曲線的參數(shù)方橢圓 的參數(shù)方程為為參數(shù)程 22222231()42(0)2()2xyabxasecybtanypx pxpttypt 雙曲線的參數(shù)方程為為參數(shù) 拋物線 的參數(shù)方程為為參數(shù) 1() 2(5)1xr cossinyr sincosxrsinyrcos 圓的漸開線的參數(shù)方程：是參數(shù) 圓的擺線的參數(shù)方漸開程：是和擺線參數(shù)線0000000 cossincossin cos sinx

6、xtyytM Mxxatyybtxxryyrxayb ；消去參數(shù)；選參數(shù)；有向線段的數(shù)量；南；】；【要點(diǎn)指 22 111() 2()21123(1.)12ttxxsinttycostytxetetyete將下列參數(shù)方程化為普通方程：為參數(shù) ；為參數(shù) ；為參數(shù)例題型一題型一 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化 222222222212sin 11cos21 2sin10111121 1 2( 11)0 xyxttxyxtyxxxyxtx 因?yàn)椋驗(yàn)?，又由兩式平解析方相加得，：所以?22222211212211 3122 1(1)tttttttxeeet exyeeexyxe解析：

7、為即因，且， 參數(shù)方程與普通方程的互化必須充分注意探究方程的等價(jià)性，即互化前后坐標(biāo)取值范圍的評(píng)析：一致性 1212121212121212 ()222 ()22112xcosCysinxtCtytCCCCCCCCCCCCCC已知曲線：為參數(shù) ，曲線：為參數(shù)指出，各是什么曲線，并說明與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若把，上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，分別得到曲線、，寫出、的參數(shù)方程與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明素材 ：你的理由 12221121211 0, 01.20.2011 CCCxyCrCxyxCCCy是圓，是直線的普通方程為，圓心，半徑的普通方程為因?yàn)閳A心到直線的距離為，解析：所以與只

8、有一個(gè)公共點(diǎn) 122212221122222 () ()122412412 222 210(2 2)4 2 102CxcosxtCtysinytCxyCCCCCyxxx 壓縮后的參數(shù)方程分別為：為參數(shù) ；：為參數(shù) 化為普通方程為：，：，聯(lián)立消元得，其判別式，解析：所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同 本題考查參數(shù)方程的有關(guān)概念及參數(shù)方程與普通方程的互化評(píng)析：等知識(shí)1()12.12xtttyttPyx 化參數(shù)方程為參數(shù)為普通方程例，并求出該曲線上的一點(diǎn) ，使它到的距離為最小，并求此最小距離題型二題型二 參數(shù)方程的應(yīng)用參數(shù)方程的應(yīng)用 224.11()2103|1|.52 3

9、10.51 xyP ttPxyttttdtd 化參數(shù)方程為普通方程：設(shè)，則點(diǎn) 到直線的距離當(dāng) 時(shí)，解析： 302 33312 31.|1| 2 3 412 312 332 3(12 315)33552 31.5 2tttttttddP 當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?，所以所以，所以因?yàn)?，所?的解析：此最小值時(shí)點(diǎn)，為的坐標(biāo)為 把曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)式表示，將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值是簡(jiǎn)化問題的常評(píng)析：用方法 222222222. 111641421(0)xyPQOOPOQOPOQxyabxAabPOPAPOe兩點(diǎn) 、 在橢圓上，是原點(diǎn)若、的斜率之積為，求證：為定值橢圓 與 軸正向交于點(diǎn) ，如果在這個(gè)橢圓上總存在

10、點(diǎn) ，使，為原點(diǎn)，求離心率素材的取值范圍 2222222222(4cos2sin)(4cos2sin)12214444coscossinsin0cos()02()16cos4sin16cos4sin16sin4 cos16cos4sin 1 OPOQPQsinsinkkcoscoskkOPOQ Z設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，則于解：是證明：析20，為定值 222222( cossin )11sincos (1 cos )121111(0)1212112 2(1)2 22OPAPP abkkbsinbsinbaacosaacosbcoscoscosasincoscoseee 設(shè)，依題意，所以，即，

11、所以，所以 ，得 ，解析：即離心率 的取值范圍為， 1222 2,111641112|PllxyABCDPAPBPA PBPCPD過且兩兩互相垂直的直線 ，分別交橢圓于 、 與 、 ；求的最值；求證備選例題：為定值 11222222()11164(cos4sin)(4cos8sin)8082 8242882421 321.A Bllxtcostytsinxyttt tcossinPAPBcossinsinPA PB 設(shè)直線 的傾斜角為 ，則 的參數(shù)方程為解析：所為參數(shù) ，代入橢圓的方程中，整理得以的最大值為 ，最小，所以，值為所以 121222222(1 22)lllllalxtcostyts

12、in 證明：因?yàn)?，不妨設(shè) 的傾斜角小于 的傾斜角，則 的傾斜角為，因此直線解析：的參數(shù)方程為為參數(shù) ， 222221164(sin4cos)4(2cossin )8081 3211|1 321 325 8828C Dxyaa taa tPC PDt tcosPA PBPCPDsinsin代入橢圓的方程中，整理得，所以解析，所以，：為定值 | ABABABABPttttABttt要求 、 兩點(diǎn)到 的距離之和或積，由參數(shù)的幾何意義，即只要求或，求即求出，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的參數(shù)方程中 的幾何意義即可，是解決直線和二次曲線問題常用的方評(píng)析：法之一123參數(shù)方程與普通方程的互化一定要講究方程的等價(jià)性在

13、已知圓、橢圓、雙曲線和拋物線上取一點(diǎn)可考慮用其參數(shù)方程設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解在直線與圓和圓錐曲線位置關(guān)系問題中，涉及距離問題探求可考慮應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解222()31xttytxy求直線為參數(shù) 被雙曲線所截得的弦長(zhǎng)2222212121 2212121 22()132( 3 )124303224322410.2xttxyytttttttttt tttttt t 把為參數(shù) 代入，整理得，即，設(shè)其兩根為 ， ，則，從而弦長(zhǎng)錯(cuò)解： 直線的參數(shù)方程必須先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才可運(yùn)用，即要理解直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的錯(cuò)解分析： 幾何意義2222212121 2212121 2122()2 10.13213(2)()1460.22464424640 xttxyytttttttttt tttttt t 把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為參數(shù) ，代入，即，整理，得設(shè)其兩根為 ， ，則，從而弦正解長(zhǎng)為：