中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn) 反比例函數(shù)中考復(fù)習(xí) 反比例函數(shù)及其圖象課件

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1、第第1313課課 反比例函反比例函數(shù)及其圖象數(shù)及其圖象 1. 概念： 函數(shù)叫做反比例函數(shù)2. 圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，是不與兩坐標(biāo)軸相交的兩條曲線3. 性質(zhì)： (1)當(dāng)k0時，其圖象位于 ，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而 ； (2)當(dāng)k1時，0y1 D當(dāng)x0時，y隨著x的增大而增大 解析：雙曲線y 分布于第一、三象限當(dāng)x0，雙曲線在第一、三象限，選C.C3(2011黃石)雙曲線y 的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是() Ak B. k Ck D不存在 解析：當(dāng)2k10，即k1時，觀察圖象，得0yy2，則x的取值范圍是() Ax1或0 x2 Bx2 C1x0或0 x2 D1x2 解析

2、：當(dāng)x2或1時，y1y2；當(dāng)1x2時，y1y2.D題型一反比例函數(shù)圖象的確定【例1】 已知圖中的曲線是反比例函數(shù)y (m為常數(shù))圖象的一支 (1)這個反比例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？ (2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足 為B，當(dāng)OAB的面積為4時，求點(diǎn)A 的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解：(1)這個反比例函數(shù)圖象的另一支在第三象限 m50，m5. (2)點(diǎn)A在直線y2x上， 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,2x0) (x00)， 則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,0) SOAB4， x02x04，x02

3、4，x02(舍去負(fù)值)， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4) 又點(diǎn)A在雙曲線y 上， 4 ，m58. 反比例函數(shù)的解析式為y .12 m5x m5x 8x 探究提高 一次函數(shù)與比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)取決于系數(shù)的值，同樣由圖象的性質(zhì)，反過來也可以確定系數(shù)的符號要熟記函數(shù)的性質(zhì)并靈活應(yīng)用這些性質(zhì)知能遷移1(2011聊城)如圖，已知一次函數(shù)ykxb的圖象交反比例函數(shù)y (x0)圖象于點(diǎn)A、B，交x軸于點(diǎn)C. (1)求m的取值范圍； (2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,4)，且 ， 求m的值和一次函數(shù)的解析式解：(1)因反比例函數(shù)的圖象在第四象限， 所以42m0，解得m2. (2)點(diǎn)A(2,4)在反比例函數(shù)圖象上， 4 ，解

4、得m6，得y . 過點(diǎn)A、B分別作AMOC于點(diǎn)M，BNOC于點(diǎn)N， 所以BNCAMC90. 又因?yàn)锽CNACM，所以BCNACM，所以 . 因?yàn)?，所以 ，即 . 因?yàn)锳M4，所以BN1，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1， 因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，所以當(dāng)y1時，x8， 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,1)，42mx 8x BNAM BCAC BCAB 13 BCAC BNAM 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)ykxb的圖象過點(diǎn)A(2,4)，B(8,1)，所以 解得所以一次函數(shù)的解析式為yx5.2kb4,8kb1,b5,k ,12 題型二待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式【例2】 (2011濟(jì)寧)如圖，正比例函數(shù)y x的圖象與反比例函

5、數(shù)y (k0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知OAM的面積為1. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限 圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P， 使PAPB最小. 解：(1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則b ，abk. ab1， k1，k2. 反比例函數(shù)的解析式為y . (2)由 得 A為(2,1) B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，B(1,2) 設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1) 令直線BC的解析式為ymxn. B為(1,2)， BC的解析式為y3x5. 當(dāng)y0時，x . P點(diǎn)為( , 0)ka 12 1

6、2 2x y ，2x y x，12 x2,y1,mn2,2mn1,m3,n5.53 53 探究提高 反比例函數(shù)表達(dá)式中只有一個待定系數(shù)，由一對已知對應(yīng)值即可確定函數(shù)解析式，而一次函數(shù)中有兩個待定系數(shù)，要求出其系數(shù)，需要已知兩對對應(yīng)值知能遷移2已知：如圖，正比例函數(shù)yax的圖象與反比例函數(shù)y 的圖象交于點(diǎn)A(3,2). (1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？ (3)M是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，其中0m3，過點(diǎn)M作直線MBx軸，交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A 作直線ACy軸交x軸于點(diǎn)C，交直 線MB于點(diǎn)D.當(dāng)四邊

7、形OADM的面 積為6時，請判斷線段BM與DM的 大小關(guān)系，并說明理由解：(1)直線yax過點(diǎn)A(3,2)， 23a，a ，y x. 又雙曲線y 過點(diǎn)A(3,2)， 2 ，k6，y . (2)當(dāng)0 x3時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值 (3)BMDM.理由如下： SOMBSOAC |k|3， S矩形OBDCS四邊形OADM2SOAC33612. 即OCOB12. OC3，OB4，即n4，m ， MB ，MD3 ，MBMD.23 23 kx k3 6x 12 6n 32 32 32 32 題型三實(shí)際背景下的反比例函數(shù)的圖象【例3】 為了預(yù)防流感，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒已知藥

8、物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題： (1)寫出從藥物釋放開始，y與x 之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng) 的自變量取值范圍； (2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米 的含藥量降低到0.45毫克以下 時，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么 從藥物釋放開始，至少需要經(jīng) 過多少小時后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？解：(1)當(dāng)0 x12時，設(shè)y ， k2xy129108，y . (2)當(dāng)y0.45，得0.45 ，x 240(分鐘)4(小時) 答：至少需要經(jīng)過4小時后，學(xué)生才能進(jìn)入教室34 34 k2x 108x 108x 1

9、080.45 探究提高 問題中兩個變量不是單一的一次函數(shù)或反比例函數(shù)關(guān)系，而是二者的復(fù)合，這類題在函數(shù)綜合應(yīng)用中很普遍，注意在實(shí)際問題中提煉出函數(shù)模型，往往要加自變量的取值范圍知能遷移3如圖，奧運(yùn)圣火抵達(dá)某市奧林匹克中心廣場后，沿圖中直角坐標(biāo)系中的一段反比例函數(shù)圖象傳遞動點(diǎn)T(m,n)表示火炬位置，火炬從離北京路10 m處的M點(diǎn)開始傳遞，到離北京路1000 m的N點(diǎn)時傳遞活動結(jié)束迎圣火臨時指揮部設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)O(北京路與奧運(yùn)路的十字路口)，OATB為少先隊員鮮花方陣，方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000 m2(路線寬度均不計) (1)求圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式(不需寫出自變量的取值范圍)； (

10、2)當(dāng)鮮花方陣的周長為500 m 時，確定此時火炬的位置(用 坐標(biāo)表示)；(3)設(shè)tmn，用含t的代數(shù)式表示火炬到指揮部的距離；當(dāng)火炬離指揮部最近時，確定此時火炬的位置(用坐標(biāo)表示)解：(1)矩形的面積為10000， mn10000，即k10000，y . (2)2(mn)500，mn250， 又mn10000， 解、組成的方程組，得 T點(diǎn)的坐標(biāo)為(200,50)或(50,200) (3)OT . t0時，OT有最小值mn0，mn. 又mn10000， T的坐標(biāo)為(100,100)10000 x m1200，n150，m250，n2200，m2n2 mn 22mn t220000 m100，n

11、100，題型四反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合【例4】 (2011廣州)已知RtABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點(diǎn)C(1,3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，且sinBAC . (1)求k的值和邊AC的長； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo) 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：(1)把C(1,3)代入y 得k3. 2分 設(shè)斜邊AB上的高為CD，則 sinBAC . C(1,3)， CD3，AC5. 4分kx CDAC 35 (2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時，如圖1，有：AD 4，AO413.ACDABC， ，AC2ADAB，AB ，OBABAO 3 .此時B點(diǎn)坐標(biāo)為( , 0) 7分5232

12、ACAB ADAC AC2AD 254 254 134 134 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時，如圖2，此時AO415，OBABAO 5 ，此時B點(diǎn)坐標(biāo)為( , 0) 10分綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為( , 0)或( , 0) 12分254 134 探究提高 充分利用圖中的幾何知識，如相似的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等相關(guān)知識來解題，特別注意點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊或右邊兩種情況知能遷移4如圖，已知A(4,n)，B(2,4)是一次函數(shù)ykxb的圖象和反比例函數(shù)y 的圖象的兩個交點(diǎn) (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及AOB的面積； (3)求方程kxb 0的解(請直接寫出答案)

13、； (4)求不等式kxb 0的解集(請直接寫出答案)解：(1)B(2,4)在函數(shù)y 的圖象上， m8. 反比例函數(shù)的解析式為y . 點(diǎn)A(4,n)在函數(shù)y 的圖象上， n2，A(4,2) 直線ykxb經(jīng)過點(diǎn)A(4,2)，B(2,4)， 解之，得 一次函數(shù)的解析式為：yx2.mx 8x 8x 4kb2,2kb4,k1,b2,(2)C是直線AB與x軸的交點(diǎn)， 當(dāng)y0時，x2. 點(diǎn)C(2,0)， OC2， SABOSACOSBCO 22 246.(3) x14，x22.(4)4x2.12 12 5易出錯的雙比例系數(shù)函數(shù)解析式考題再現(xiàn)(2010蘭州)已知：yy1y2，y1與x2成正比例，y2與x成反比

14、例，且x1時，y3；x1時，y1.求x 時，y的值學(xué)生作答 解：設(shè)y1kx2，y2 . yy1y2，ykx2 . 把x1，y3代入上式，得3kk， k . y x2 . 當(dāng)x 時，y ( )2 3 . 答：當(dāng)x 時，y的值是 .易錯警示易錯警示規(guī)范解答解：設(shè)y1k1x2，y2 ， yy1y2. yk1x2 . 把x1，y3；x1，y1分別代入上式，得 解得 y2x2 . 當(dāng)x 時，y2( )2 2 .答：當(dāng)x 時，y的值是 .k2x k2x 3k1k2,1k1k2,k12,k21,1x 12 12 112 12 32 12 32 老師忠告 1錯解錯在設(shè)y1kx，y2 時取了相同的比例系數(shù)k，由

15、于這是兩種不同的比例，其比例系數(shù)未必相同，應(yīng)分別設(shè)y1k1x，y2 ，用兩個不同字母k1、k2來表示兩個不同的比例系數(shù) 2在同一問題中，相同的字母只能表示同一個未知量兩個或多個不同的未知量需要用兩個或多個不同的字母來表示，以免混淆，從而導(dǎo)致錯誤方法與技巧 牢固掌握本節(jié)知識點(diǎn)，樹立函數(shù)思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，注意與其他學(xué)科的結(jié)合 1. 注意反比例函數(shù)中“xyk”的幾何意義(圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸所形成矩形面積)和實(shí)際意義 2. 比例系數(shù)k決定反比例函數(shù)y 圖象的分布情況(具體見前面的要點(diǎn)梳理)，要重視這些基礎(chǔ)知識 3. 關(guān)注與反比例函數(shù)有關(guān)的綜合題，掌握其基本方法，如求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等 4.

16、 解一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合性問題時，要注意運(yùn)用“把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系”的策略思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失誤與防范 1反比例函數(shù)中，y隨x的大小而變化的情況，應(yīng)分x0與x0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k0時，第一象限點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為正，而第三象限點(diǎn)縱坐標(biāo)值都為負(fù)；當(dāng)k0時，第二象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為正，第四象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù) 2在比較大小時，不可以忽略了反比例函數(shù)的圖象是由兩條分支組成的(分別在不同的兩個象限)，在不同的象限是不能用它的性質(zhì)來判斷的，而是要分別討論運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，要注意在每一個象限內(nèi)的要求. 完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 13