【小學三年級數學】小學數學奧數基礎教程(三年級)16共(8頁)

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1、小學數學奧數基礎教程（三年級） 本教程共30講 第16講數陣圖（ 在神奇的數學王國中，有一類非常有趣的數學問題，它變化多端，引 人入勝，奇妙無窮。它就是數陣，一座真正的數字迷宮，它對喜歡探究數 字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研 究它的變化，就連大數學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。 那么，到底什么是數陣呢？我們先觀察下面兩個圖： 左上圖中有3個大圓，每個圓周上都有四個數字，有意思的是，每個 圓周上的四個數字之和都等于13。右上圖就更有意思了， 1?9九個數字 被排成三行三列，每行的三個數字之和與每列的三個數字之和， 以及每條 對角線上的三個數字之和都等于1

2、5,不信你就算算 上面兩個圖就是數陣圖。準確地說，數陣圖是將一些數按照一定要求 排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣。要排出這樣巧妙的數陣圖，可不是 一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。 例1把1?5這五個數分別填在左下圖中的方格中， 使得橫行三數之和與 豎列三數之和都等于9。 同學們可能會覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答 案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理， 只有 弄懂其中的道理，才可能解出復雜巧妙的數陣問題。 分析與解：中間方格中的數很特殊，橫行的三個數有它，豎列的三個數也 有它，我們把它叫做“重疊數”。也就是說，橫行的三個數之和加上

3、豎列 的三個數之和，只有重疊數被加了兩次，即重疊了一次，其余各數均被加 了一次。因為橫行的三個數之和與豎列的三個數之和都等于 9,所以 (1+2+3+4+5)+重疊數=9+9, 重疊數=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。 重疊數求出來了，其余各數就好填了 (見右上圖)。 例2把1?5這五個數填入下頁左上圖中的。里(已填入5),使兩條直線 上的三個數之和相等。 分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數”為5,而不知道兩條直線上 的三個數之和都等于什么數。所 以，必須先求出這個“和”。根據例1的分析知，兩條直線上的三個 數相加，只有重疊數被加了兩遍，其余各數均被加了一遍，所以兩

4、條直線 上的三個數之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5] +2=10。 因此，兩條直線上另兩個數(非“重疊數”)的和等于10-5=5。在剩 下的四個數1, 2, 3, 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。 例3把1?5這五個數填入右圖中的。里，使每條直線上的三個數之和相 等。 O-U-O 6 分析與解：例1是知道每條直線上的三數之和，不知道重疊數；例2是知 道重疊數，不知道兩條直線上的三個數之和；本例是這兩樣什么都不知道。 但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重疊數 =每條直線上三數之和X 2, 所以，每條直線上三數之和等于(15+

5、重疊數)+2。 因為每條直線上的三數之和是整數，所以重疊數只可能是 1, 3或5 若“重疊數” =1,則兩條直線上三數之和為 (15+1) +2=8。 填法見左下圖； 若“重疊數” =3,則兩條直線上三數之和為 (15+3) +2=9。 填法見下中圖； 若“重疊數” =5,則兩條直線上三數之和為 (15+5) +2=10。 填法見右下圖。 (5) ? 由以上幾例看出，求出重疊數是解決數陣問題的關鍵。 為了進一步學 會掌握這種解題方法，我們再看兩例。 例4將1?7這七個自然數填入左下圖的七個。內， 使得每條邊上的三個 數之和都等于10 分析與解：與例1類似，知道

6、每條邊上的三數之和，但不知道重疊數。因 為有3條邊，所以中間的重疊數重疊了兩次。于是得到 (1+2+ - +7)+重疊數 X 2=10X 3。 由此得出重疊數為 [10 X3-(1+2+ …+7)] +2=1。 剩下的六個數中，兩兩之和等于 9的有2, 7; 3, 6; 4, 5。可得右 上圖的填法。 如果把例4中“每條邊上的三個數之和都等于 10”改為“每條邊上 的三個數之和都相等"，其他不變，那么仿照例 3,重疊數可能等于幾？ 怎樣填？ 例5將10?20填入左下圖的。內，其中15已填好，使得每條邊上的三 個數字之和都相等。 解：與例2類似，中間。內的15是重疊數，并且

7、重疊了四次，所以每條 邊上的三個數字之和等于 [(10+11+ - +20)+15X4] -5=45。 剩下的十個數中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10, 20; 11, 19; 12, 18; 13, 17; 14, 16。于是得到右上圖的填法。 例1?5都具有中心數是重疊數，并且每邊的數字之和都相等的性質，這 樣的數陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個數，稱為輻射 型3-3圖；例5有五條邊每邊有三個數，稱為輻射型 5-3圖。 般地，有m條邊，每邊有n個數的形如下圖的圖形稱為輻射型 m- 輻射型數陣圖只有一個重疊數，重疊次數是“直線條數” -1 ,即m-1

8、對于輻射型數陣圖，有 已知各數之和+重疊數x重疊次數 =直線上各數之和x直線條數。 由此得到： （1）若已知每條直線上各數之和，則重疊數等于 （直線上各數之和X直線條數-已知各數之和）+重疊次數。 如例1、例4。 （2）若已知重疊數，則直線上各數之和等于（已知各數之和+重疊數X重疊 次數）一直線條數。如例2、例5。 ⑶若重疊數與每條直線上的各數之和都不知道，則要從重疊數的可能取 值分析討論，如例3。 練習16 1 .將1?7這七個數分別填入左下圖中的。里，使每條直線上的三個 數之和都等于12。 如果每條直線上的三個數之和等于 10,那么又該如何填？ 2 .將1?

9、9這九個數分別填入右上圖中的。里（其中9已填好），使每 條直線上的三個數之和都相等。 如果中心數是5,那么又該如何填？ 3 .將1?9這九個數分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個 數之和相等。（至少找出兩種本質上不同的填法） 4 .將3?9這七個數分別填入左下圖的。里，使每條直線上的三個數 之和等于20。 5 .將1?11這十一個數分別填入右上圖的。里，使每條直線上的三個 數之和相等，并且盡可能大。 6 .將1?7這七個數分別填入下圖的。里，使得每條直線上三個數之 和與每個圓圈上的三個數之和都相等。 答案與提示練習16  和為為 和

10、為黑 和力25 和為28 和為27 5.提示：中心數是重疊數，并且重疊4次。所以每條直線上的三數之 和等于 [(1 +2+---+ 11)+重疊數X 4] +5 = (66+重疊數X 4) +5。 為使上式能整除，重疊數只能是1, 6或11。顯然，重疊數越大，每 條直線上的三數之和越大。所以重疊數是 11,每條直線上的三數之和是 22。填法見右圖。 6.解：所有的數都是重疊數，中心數重疊兩次，其它數重疊一次。所 以三條邊及兩個圓周上的所有數之和為 (1 +2+…+ 7) X2+中心數=56+中心數。 因為每條邊及每個圓周上的三數之和都相等，所以這個和應該是 5 的倍數，

11、再由中心數在1至7之間，所以中心數是4。每條邊及每個圓周 上的三數之和等于(56+4) -5= 12。 中心數確定后，其余的數一下還不好直接確定。我們可以試著先從輻 射型3-3圖開始。中心數是4,每邊其余兩數之和是12-4=8,兩數之和是 8的有1, 7; 2, 6; 3, 5。于是得到左下圖的填法。 對于左上圖，適當調整每條邊上除中心數外的兩個數的位置， 便得到 本題的解（見右上圖）。 豎式計算 370+7= 784-685= 76X 15 = 486 e= 607 55= 900-807= 915 3= 560 + 458+542= 423 3= 87X19=

12、 362+6= 525+ 3= 254+5= 192 + 4 = 602+7 = 839+ 9= 726+6= 51 X 16 = 78 X 22 = 416+4= 823+8= 63X43= 367 + 795 與= 2 >53= 79 >97= 28X 32 = 54X 25 = 48X61= 39X42 = 168 3= 370 與= 640 ^7= 1944=  470 %= 522 -6= 312^7= 570 七= 810+9= 660 + 5= 804 + 7= 462 + 3 = 780+4 = 729+ 9 = 624 + 6 = 2500+300= 156-97= 386+479= 321 X 12 = 125X 23 = 18X 250 = 52 X 49= 34 X 54= 106X 51 = 48 X 34 = 82 X 16= 45 X 93= 66 X 65= 55 X 18= 75X 26= 816+ 8=