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1、第第9 9章章 習題課習題課(1)(1)主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.定義定義平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)z = f (x, y)的二重積分的二重積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二重積分的定義二重積分的定義二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義, 0),()1( yxf當當, 0),()2( yxf當當,),()3(上上有有正正有有負負在在若若Dyxf表示表示 Dyxf d),(.),(,的的體體積積的的曲曲面面為為頂頂?shù)牡那旐斨w體為為底底以
2、以yxfDVyxfD d),(面面上上方方曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積xoy等等于于 Dyxf d),(.面面下下方方曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積減減去去xoy二重積分的物理意義二重積分的物理意義若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域D,),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量M為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( DyxM 性質(zhì)性質(zhì)當當 為常數(shù)時，為常數(shù)時，k.d),(d),( DDyxfkyxkf Dyxgyxf d),(),(.d),(d),( DDyxgyxf 二重積分與定積分有類似的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有
3、可加性.d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf 性質(zhì)性質(zhì)3 若若 為為D的面積，的面積，.dd1 DD )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì)4若在若在D上上, 0),( yxf. 0d),( Dyxf .d),(d),( DDyxfyxf 則有則有推論推論1若在若在D上上),(),(yxgyxf .d),(d),( DDyxgyxf 則有則有推論推論2性質(zhì)性質(zhì)5性質(zhì)性質(zhì)6（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMyxfm d),( ),(d),(fyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）二重積分的對稱性質(zhì)：二重積分的對稱性質(zhì)：設設區(qū)域區(qū)域D關于關于x軸對稱軸對稱, Dyxf
4、 d),(),(),(yxfyxf 當當則則D1為為D在在x軸的軸的上半部分上半部分, , ,d),(21 Dyxf , 0),(),(yxfyxf 當當oxyDD1 Dyxf d),(),(),(yxfyxf 當當則則 ,d),(21 Dyxf , 0),(),(yxfyxf 當當設設區(qū)域區(qū)域D關于關于y軸對稱軸對稱, 且且D1為為D在在y軸的右半部分軸的右半部分, ,oxyD1輪換對稱性輪換對稱性稱稱D滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性 xyDyxyxfdd),( yxDxyxyfdd),(，若若yxxyDD ，若若),(),(xyfyxf 稱稱f(x,y)滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性xyyx稱
5、為稱為x與的與的y輪換輪換二重積分化為二重積分化為 2 2次定積分計算次定積分計算二重積分的計算二重積分的計算 直角坐標下計算直角坐標下計算極坐標下計算極坐標下計算 Dyxf d),( Dyxyxfdd),( Drrrrf dd)sin,cos( 先先x后后y積分積分先先 y后后x積分積分先先r后后積分積分定限口訣定限口訣( (上上, ,下限均為常數(shù)下限均為常數(shù)),),限內(nèi)畫條線，限內(nèi)畫條線，先交是下限先交是下限, ,后積先定限后積先定限后交是上限后交是上限. .再確定再確定交換積分次序后的積分限交換積分次序后的積分限;1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序畫先依給定的積分次序畫D
6、的草圖的草圖;2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為圓環(huán)域時圓環(huán)域時,或積分域為或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標計算則用極坐標計算; 解題技巧解題技巧 3. 注意利用對稱性質(zhì)注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計算以便簡化計算;4. 被積函數(shù)中含有絕對值符號時被積函數(shù)中含有絕對值符號時, 應應將積分域分割成幾個子域?qū)⒎e分域分割成幾個子域, 使被積函數(shù)在使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函二、典型例題二、典型例題yxyxDdd)cos( 計算計算
7、20 ,20),( yxyxD其中其中oxy2 2 D2D1yxyxDdd)cos( 1dd)cos(Dyxyx yyxxd)cos(d yyxxd)cos(d2 2dd)cos(Dyxyx2 yx 例例解解02 0 x 2 02 x 2 2 先先 y后后x解解 如圖如圖, , Dyxyxfdd),( 2dd)(Dyxyx yyxyxy210d)(d Dyxyxf,dd),(求求 其它，其它，設設, 02,),(22xyxyxyxf10 , 10),( yxyxD其中其中321DDDD )2821(51 1122xy 2xy 1D2D3DxyO先先x后后y yxxeIDydd2 解解第一象限所
8、圍區(qū)域第一象限所圍區(qū)域在在與與：2294xyxyD xxeyydd2 yxxeIDydd2 0232d22yxeyxyxy 0d94212yyyey 0d7252yyey1445 29xy xy0先先x后后y 0 3y2y例例24xy .d1d13102yyxyxx 解解例例 計算積分計算積分2xy 交換積分次序交換積分次序. . 原式原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 1 1xyO banxanbayyfybnyyfyxxd)()(11d)()(d12 xanbayyfyxxd)()(d2yyxnyfbabynd)(11)
9、(1 banyyfybnd)()(111Dxyoxy bab xyfyxynd)()(d2證明證明abyba證證: :左端左端= = 右端右端 cos2 r.2:,dd)(22xyxDyxyxD 其其中中計計算算二二重重積積分分解解rrrdcosd22cos020 用極坐標用極坐標xOy 20cos203d)(cos32 r對稱性對稱性積分區(qū)域關于積分區(qū)域關于x軸對稱軸對稱例例 2yxyxDdd)( yxyyxxDDdddd yxxDdd2 上上0 203dcoscos316 . 203dcoscos316 4316I 22143316計算二重積分計算二重積分,dd)e(222yxyxxIyx
10、D 其中其中:(1) D為圓域為圓域;122 yx解解yxxIDdd2 0dd)(2122 yxyxD 10320dd21rr 4 yxyxDyxdde22 (2) D由直線由直線1,1, xyxy圍成圍成 . yx1DO (1) 利用對稱性利用對稱性.yxxDdd2 yxyDdd2 用極坐標用極坐標y1x1OyxyxDyxdde122 1D2Dxyxy yxxDdd2 yxyxDyxdde222 yxyxxIyxDdd)e(222 (2) D由直線由直線1,1, xyxy圍成圍成 . yxxDdd2 0 0 y1x1Oxy xyxx1112dd32 yxxDdd2 先先y后后x 若函數(shù)若函數(shù)
11、 f (x, y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域D:解解, 1),(d)d,(2 yxfyxyxfxyD10 , 10 yx上連續(xù)上連續(xù), , 且且求求 f (x, y) .設設 DyxyxfId)d,(I1),(2 yxfxyIxOy11D例例 1),(2 xyIyxf DyxyxfId)d,( DyxxyId1)d(2 DDyxyxxyIdddd2xOy11D1),(2 xyIyxf DyxyxfId)d,( DDyxyxxyIdddd2 10102ddyyxxI1 1412 I2 I.41),(xyyxf 0442 II證明證明 設函數(shù)設函數(shù)1 , 0Cf 1d)(1d)(1010 xxfxxf且
12、非負，證明且非負，證明 1010d)(1d)(xxfxxf 1010d)(1d)(yyfxxf 1010dd)()(yxyxyfxf 1010dd)()(yxyxxfyf 1010dd)()()()(21yxyxxfyfyfxf 1010dd221yxyx1 例例 ，上連續(xù)上連續(xù)在在設設,)(baxf證明證明 babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端左端yyfxxfbabad)(d)( yxyfxfDdd)()( 222vuuv 利用利用yxyfxfDdd)()(2221 byabxaD:yxxfDdd)(2 yxxfDdd)(2 yxyfDdd)(2 yxxfbabadd)
13、(2 = = 右端右端1 11 1設函數(shù)設函數(shù)f (u)連續(xù)連續(xù), ,證明證明 111d)(dd)(uufyxyxfyx證證oxy例例1 1 11變換變換,2vux ),(),(vuyxJvyuyvxux21212121 vou,uyx vyx 2vuy 21 1 yx1 yx1 yx1 yx*D1 1 1121 J 1dd)(yxyxyxf *dd21)(Dvuuf 1111dd)(21vuuf 11d)(uufvou,uyx vyx 111d)(dd)(uufyxyxfyx*D解解.d110,01222222 yxyxyxyx計算計算 102220d11drrrr 原式原式 1042d11
14、2rrrr )d1d1(21043104 rrrrrr oxy1 r1)d1d1(21043104 rrrrrr )1(d1141d1121210441024 rrrr 121arcsin212104102rr )2(8 ,dd)(1 22 Dyxyxyfx計算計算 例例,1, 1,3所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 xyxy分析分析 由于被積函數(shù)含有抽象函數(shù)由于被積函數(shù)含有抽象函數(shù), ,因此要采用因此要采用11 故無法直接積出故無法直接積出. .一些技巧一些技巧. .是是由由其其中中D.是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)f3xy 1 2D1D3xy （第二象限部分）（第二象限部分）.,21兩兩部部分分為為分分區(qū)區(qū)
15、域域DDD（如圖）（如圖）作曲線作曲線解解xyO Dyxyxyfxdd)(1 22則有則有 1dd)(1 22Dyxyxyfx 2dd)(122Dyxyxyfx 2ddDyxx 2dd)(22Dyxyxxyf0 0 33dd201xxyxx52 3xy 11 2D1DxyOxxxd )1(113 11122d)(213xyxFxx uttfuF0d)()(記記52 052 52 11622d)()1(21xxxxFxxF52 奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) xyxxd1113 1113ddxyxx 122113)d(dxyyxyfxx 12222113)()d(d21xyxyxfxx 11622d)
16、()1(21xxxFxFx例例解解12x01y211xy xy 012y012022yy D例例解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.d22 xxyxyDyxD X-型域型域 xxDyyxdxyx1222122dd 2112d)(xyxxx 213d)(xxx.49 . 21,1: xxyxD1 11 11 11 1設函數(shù)設函數(shù)f (u)連續(xù)連續(xù), ,證明證明 111d)(dd)(uufyxyxfyx證證法法1 1oxy 1dd)(yxyxyxf xxyyxfx1101d)(d xxyyxfx1110d)(d令令 xuufx21101d)(d 11210d)(dxuufx 112121d)(duuxufu 11d)(uufuydd 12 xuxu21 xou例例uyx
微積分：第9章習題課(3)
