高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 三角換元法

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1、三角換元法 摘要：本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法，以常見(jiàn)例題的形式講述了三角換元法在解題過(guò)程中的具體應(yīng)用。 大家知道，換元法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)換元將原來(lái)比較復(fù)雜的、非標(biāo)準(zhǔn)的形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、標(biāo)準(zhǔn)的形式，以利于揭示問(wèn)題的本質(zhì)、題目的分析和解決。三角換元法是眾多換元法中的一種，它以三角函數(shù)為“元”，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)求解的問(wèn)題，三角換元法在求解方程、不等式、解析幾何和函數(shù)最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用。一般情況下，在運(yùn)用三角換元的題目中，往往在表達(dá)式的形式或字母的取值范圍等方面明顯反映出三角函數(shù)式的特征，這一點(diǎn)給三角換元法的應(yīng)用提供了線(xiàn)索。具體表現(xiàn)在該方法對(duì)于含有被開(kāi)方式為二次式的

2、二次根式問(wèn)題能起到除去二次根式的作用，因?yàn)槎胃娇偸强梢赞D(zhuǎn)化為、或的形式，其中t為變量，k為非負(fù)常量。現(xiàn)對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題歸納如下： 1．形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時(shí)，或令 同理， 2．形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時(shí)，或令 。 3．形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時(shí)，或令 其中。 注：上面替換中應(yīng)注意，t的范圍應(yīng)滿(mǎn)足： 1°根式中變量的取值要求。 2°二次根式的化簡(jiǎn)唯一。 以上是常見(jiàn)的用法，其具體應(yīng)用現(xiàn)分類(lèi)介紹如下： 一、 三角換元法在解方程及解不等式中的應(yīng)用。 例1． 解方程： 解：該方程的根必然為正（否則左負(fù)右正），所以設(shè)，則方程變?yōu)?/p>

3、 變形整理得： ∴或 ∵ ∴ 故應(yīng)舍去，由得 當(dāng)時(shí)，得，∴ 當(dāng)時(shí)，得，∴ 故原方程的根為 或 說(shuō)明：此題關(guān)鍵是去掉根式，易聯(lián)想到的形式，換元也就水到渠成了。 例2． 解方程組。 解：由題意知?jiǎng)t設(shè)其中那么 此時(shí) 即 ∴ 從而 所以方程組的解為 說(shuō)明：題目的實(shí)質(zhì)是在圓上找一點(diǎn)，使其縱坐標(biāo)之和為定值，注意到半徑與定值的大小關(guān)系，設(shè)參數(shù)時(shí)角的范圍可適當(dāng)縮小。 例3． 實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且 當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。 解：此題直接求解較難，若令由可得，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“已知，且求的取值范圍”，

4、再做三角變換，令， 則 由得 ∴ ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)， ∴ 故 的取值范圍是。 說(shuō)明：本題條件較為復(fù)雜，解題方向不明確，所以通過(guò)有理代換，三角代換揭示了問(wèn)題的幾何意義。 二、 三角換元法在證明中的應(yīng)用 例4． 若則。 證明：設(shè) ∵ ∴ ∴ 故 說(shuō)明：題目綜合難度較大，但通過(guò)換元后利用單調(diào)性巧證，題目的關(guān)鍵在于放縮之后利用 ，為解題帶來(lái)了便利。 例5． 已知，求證：。 證明：由于，可設(shè) 則 其中等號(hào)在 時(shí)成立。 故 。 說(shuō)明：含有條件不等式的證明因題而異，此題換元思想

5、的來(lái)源在于和 的類(lèi)比聯(lián)想。當(dāng)然此題也可以采用整體換元。 例6． 設(shè)，求證： 。 證明： ∵， 故可設(shè) ∵ ∴ 即 兩邊同乘以就得所證之式。 說(shuō)明：此題換元思想在于：在非直角三角形中，其中三個(gè)內(nèi)角的正切之間有關(guān)系式，它雖然沒(méi)有正式提出來(lái)，但相當(dāng)重要。 三．三角換元法在解析幾何中的應(yīng)用。 例7．一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（3，2）與 軸的正半軸交于A(yíng) 、B兩點(diǎn)，若的面積最?。∣為原點(diǎn)），求此時(shí)直線(xiàn)的方程。 P（3，2） X O Y 解：設(shè),則 ，那么 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取最小值12。 ∴ 故 直線(xiàn)方程為。

6、 說(shuō)明：此題已知直線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)，求其方程，在于求出其斜率，即。因此三角思想由此而生，換元也順理成章。 例7． 在橢圓上求點(diǎn)使取最小。 解：設(shè)則 當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，。 說(shuō)明：此題若直接求解顯得生硬，而且很繁，聯(lián)想橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)來(lái)解就簡(jiǎn)單了許多。 例8。已知點(diǎn)P在圓A：上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求 的最大值及此時(shí)P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：在橢圓上任取一點(diǎn)記為Q，連接QA（A為圓心）并延長(zhǎng)交圓于P ，在圓A上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P，易知 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到橢圓上動(dòng)點(diǎn)Q的最大值問(wèn)題，設(shè)則 ，

7、當(dāng)時(shí)，最大。此時(shí)，， ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（。 下面求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo) ∵ ∴直線(xiàn)AQ方程為與已知圓A方程聯(lián)立易求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為 。 說(shuō)明：此題同例8一樣，運(yùn)用參數(shù)方程回避了大量復(fù)雜運(yùn)算。 四．三角換元法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用 例10．求函數(shù)的值域。 解：所給函數(shù)可化為 令 ，則 其中，所以，因此， 即，故值域?yàn)椤? 說(shuō)明：此題目有兩個(gè)根式，平方去根號(hào)需兩次，很繁，而采用換元法去根號(hào)使得題目變得簡(jiǎn)單易做。 例11．已知，求的最大值。 解：設(shè)，則 ∵ ∴ 故 說(shuō)明：題目中與去根號(hào)暗示了三角換元法和利用來(lái)解題。 例12．求函數(shù)在上的最小

8、值。 解：令，則 此時(shí)的最小值即歸結(jié)為求在上的最小值，易知在此區(qū)間上為減函數(shù)，而為增函數(shù)。故在時(shí)，取最小值。 ∴。 說(shuō)明：去根號(hào)采用三角換元。 例13．求函數(shù)在上的最大值。 解：令，則 ∵且 ∴ ∴ 說(shuō)明：此題同樣式為去根號(hào)而換元，但在題目的處理中則顯示了對(duì)三角知識(shí)的靈活運(yùn)用，不僅有萬(wàn)能公式，而且用到二倍角公式，三角函數(shù)有界性等知識(shí)，因此需仔細(xì)觀(guān)察然后用代換。 例14．設(shè)，求函數(shù)的最大值。 解： ∵ ∴ 以為邊可作成直角三角形，因此可設(shè) 所以 當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)（即）有 說(shuō)明：此題抓住題目結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特點(diǎn)，

9、構(gòu)造直角三角形，設(shè)元代換。 通過(guò)上面的例題可以看出，三角換元法的使用是有一定范圍的，它只適用于具有某些特點(diǎn)的式子，如前文所提及的式子時(shí)，可以考慮使用此法，但應(yīng)用此法是否能夠解決問(wèn)題，還必須進(jìn)一步考慮能否引進(jìn)三角函數(shù)，例如要設(shè)時(shí)，必須滿(mǎn)足，否則就不能引進(jìn)。進(jìn)行三角換元以后，如果能利用三角知識(shí)解決問(wèn)題，此法可行，否則還得另覓新路。 參考資料： 1．?數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸理論與方法? 喻平 廣西師范大學(xué)出版社 1999。8 2．?解題與證題指導(dǎo)? 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)文摘 浙江人民出版社 1982。5 3．“函數(shù)值域又一求法” 盧劍春 ?數(shù)學(xué)教學(xué)通訊? 2000。1 內(nèi)容總結(jié) （1）三角換元法 摘要：本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法，以常見(jiàn)例題的形式講述了三角換元法在解題過(guò)程中的具體應(yīng)用 （2）令此時(shí)，或令 同理， 2．形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù) （3）說(shuō)明：此題已知直線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)，求其方程，在于求出其斜率，即 （4）解：所給函數(shù)可化為 令 ，則 其中，所以，因此， 即，故值域?yàn)?（5）進(jìn)行三角換元以后，如果能利用三角知識(shí)解決問(wèn)題，此法可行，否則還得另覓新路