《高二數(shù)學選修 數(shù)學歸納法及其應用舉例（2）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高二數(shù)學選修 數(shù)學歸納法及其應用舉例（2）（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、數(shù)數(shù) 學學 歸歸 納納 法法 及及 其其 應應 用用 舉舉 例（例（2）什么是數(shù)學歸納法？對于某些與自然數(shù)與自然數(shù)n有關(guān)的命題有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：1.先證明當先證明當n取第一個值取第一個值n0時命題成立時命題成立；2.然后假設(shè)當然后假設(shè)當n=k(k N*，kn0)時時命題成立，證明當命題成立，證明當n=k+1時命題也時命題也成立。成立。這種證明方法就叫做。數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法(1) 第一步，是否可省略？ 不可以省略不可以省略。(2)第二步，從第二步，從n=k(kn0)時命題成立的假設(shè)出發(fā)，推時命題成立的假設(shè)出發(fā)，推證證 n=k+1 時命題也成立。既然是假設(shè)，為什么還要
2、時命題也成立。既然是假設(shè)，為什么還要把它當成條件呢？把它當成條件呢？這一步是在第一步的正確性的基礎(chǔ)上，證明這一步是在第一步的正確性的基礎(chǔ)上，證明傳遞性傳遞性。反例小結(jié)：小結(jié)：重點：重點：兩個步驟、一個結(jié)論；兩個步驟、一個結(jié)論；注意：注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。假設(shè)假設(shè)n=k時，等式時，等式成立，就是成立，就是那么，那么，=k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1這就是說，如果這就是說，如果n=k時等式成立，那么時等式成立，那么n=k+1時等式時等式也成立。也成立。能否得出對任何非零自然數(shù)能否得出對任何非零
3、自然數(shù)n，命題都成立？，命題都成立？同學們可以自己驗證同學們可以自己驗證n=1，n=2，n=3等時，命題是否成立等時，命題是否成立126422nnn126422kkk) 1(22642kk例題例題2用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明6) 12)(1(3212222nnnn證明：證明：（1）當）當n=1時，左邊時，左邊121，右邊，右邊等式成立。等式成立。（2）假設(shè)當）假設(shè)當n=k時，等式成立，就是時，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(3212
4、2222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk這就是說，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。例例3用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明2) 1() 13 (1037241nnnn1）第一步應做什么？此時第一步應做什么？此時n0= ，左，左 ，2）假設(shè)）假設(shè)n=k時命題成立，即時命題成立，即1442) 1() 13(1037241kkkk1當當n=2時，左時，左，右，右。2(21)2 當當n=k時，等式左邊共有時，等式左邊共有項，項， 第第(k1)項是項是 。k1427(K1)3(k1)1思考？思考？3）當）當n=k+1時，命題的形式是時，命題的形式是2 1
5、) 1)(1(1) 1(3) 1() 13(1037241kkkkkk4）此時，左邊增加的項是）此時，左邊增加的項是1)1(3)1(kk5)從左到右如何變形？從左到右如何變形？證明：（1）當n=1時，左邊144，右邊1224，等式成立。（2）假設(shè)當n=k時，等式成立，就是22221)1)(1()44)(1(1)1(3)1()1(1)1(3)1()1(1)1(3)1()13(1037241,)1()13(1037241kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk那么這就是說，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。數(shù)學歸納法證明恒等式時，第二步證明中常用到數(shù)學歸納法
6、證明恒等式時，第二步證明中常用到哪些變形手段？哪些變形手段？、等變形手段等變形手段。復習鞏固、小結(jié)提高復習鞏固、小結(jié)提高（1）如下證明對嗎？）如下證明對嗎？nn)21(12121212132求證：證明：證明：當當n=1時，左邊時，左邊21右邊212111等式成立。等式成立。設(shè)設(shè)n=k時，有時，有kk)21(12121212132乘法公式乘法公式因式分解因式分解添拆項添拆項配方配方那么，當那么，當n=k+1時，有時，有11132211211211212121212121kkkk即即n=k+1時，命題成立。時，命題成立。根據(jù)根據(jù)問可知，對問可知，對nN，等式成立，等式成立。既然不對，如何改正？既然
7、不對，如何改正？第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學歸納法證明第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學歸納法證明。（2）分組練習P661、2、3（3）小結(jié)：用數(shù)學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項： 明確首取值明確首取值n0并驗證真假。（必不可少）并驗證真假。（必不可少） “假設(shè)假設(shè)n=k時命題正確時命題正確”并寫出命題形式。并寫出命題形式。分析分析“n=k+1時時”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“n=k”時時命題形式的差別。弄清左端應增加的項。命題形式的差別。弄清左端應增加的項。明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等， 并并 用上假設(shè)民。用上假設(shè)民?？擅鞔_為：重點：兩個步驟、一個結(jié)論；重點：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。結(jié)論寫明莫忘掉。作業(yè)布置作業(yè)布置P68 習題2.1 3、4題 數(shù)數(shù) 學學 歸歸 納納 法法 及及 其其 應應 用用 舉舉 例（例（2）參評人：王朝陽參評人：王朝陽 二二三年四月四日三年四月四日
高二數(shù)學選修 數(shù)學歸納法及其應用舉例（2）
