高二數(shù)學(xué)選修1 拋物線的幾何性質(zhì)2 課件

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1、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)2復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1 1拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸12、通徑：、通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的

2、兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊3、焦半徑：、焦半徑： 連接拋物線任意一點與焦點的線連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx 下面請大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程下面請大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的拋物線的焦半徑公式。焦半徑公式。 通過焦點的直線，與拋物通過焦點的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的線段叫做拋物線的焦點弦焦點弦。xOyFA補、焦點弦：補、焦點弦：焦點弦公式：焦點弦公式：),(11

3、yx 下面請大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程下面請大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的拋物線的焦點弦公式。焦點弦公式。B),(22yx12pxx方程方程圖圖形形范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點焦半徑焦半徑焦點弦焦點弦的長度的長度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱 關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱 關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）

4、（0,0）練習(xí)：練習(xí)： 1、已知拋物線的頂點在原點，對稱、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸為x軸，焦點在直線軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那上，那么拋物線通徑長是么拋物線通徑長是 .16例例1 1： （1）已知點）已知點A（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點的距離是的焦點的距離是5，則，則P= 。 22(0)ypx p（2）拋物線）拋物線 的弦的弦AB垂直垂直x軸，若軸，若|AB|= ， 則焦點到則焦點到AB的距離為的距離為 。 24yx4 342（3）已知直線）已知直線x-y=2與拋物線與拋物線 交于交于A、B兩兩點，那么線段點，那么線段AB的中點的中點 坐標(biāo)是坐標(biāo)是 。24yx

5、(4,2)例例1、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口圓的直徑為口圓的直徑為60cm,燈深燈深40cm，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點的位置。的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點與原點重合，反光鏡的頂點與原點重合，x軸軸垂直于燈口直徑。垂直于燈口直徑。AB 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：由已知條件可得點由已知條件可得點A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（40，30），代入

6、方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點坐標(biāo)為焦點坐標(biāo)為2252yx45(,0)8.0222正正三三角角形形的的邊邊長長）上上，求求這這個個（兩兩個個頂頂點點在在拋拋物物線線位位于于坐坐標(biāo)標(biāo)原原點點，另另外外、正正三三角角形形的的一一個個頂頂點點例例 ppxyyOxBA分析分析:觀察圖觀察圖,正三角形及拋物線都是軸正三角形及拋物線都是軸 對稱圖形對稱圖形,如果能證明如果能證明x軸是它們的公共軸是它們的公共的對稱軸的對稱軸,則容易求出三角形的邊長則容易求出三角形的邊長.線上，線上，在拋物在拋物、的頂點的頂點解：如圖，設(shè)正三角形解：如圖

7、，設(shè)正三角形BAOAByOxBA），則），則，）、（）、（，且坐標(biāo)分別為（且坐標(biāo)分別為（2211yxyx.22222121pxypxy ，所以：，所以：又又22222121|yxyxOBOA ，即：即：022212221 pxpxxx. 022121 ）（）（pxxxx，020021 pxx.21xx .|21軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于，即線段，即線段由此可得由此可得xAByy ，且且軸軸垂垂直直于于因因為為設(shè)設(shè)oAOxABxyxA30),(11 yOxBA.3330tan11 oxy，pyx2211 .342|1pyAB .321py 所以所以拓展延伸拓展延伸22121200221212001.1

8、,169:3:2(,)1,3,(,)xyPF FPF PFP x yyxF FPF PFP x y已知 為雙曲線右支上的一點,分別為左、右焦點，若，試求點的坐標(biāo)。2.已知雙曲線左、右焦點分別為，雙曲線左支上的一點P到左準(zhǔn)線的距離為d，且d,成等比數(shù)列，試求點的坐標(biāo).例例3 3、已知直線、已知直線l l：x=2px=2p與拋物線與拋物線 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B兩點，兩點，求證：求證：OAOB.OAOB.2y證明：由題意得，證明：由題意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1， =-1=-1因此因此OAOBOAO

9、BOAKOBKxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)變題變題1 1 若直線若直線l l過定點過定點(2p,0)(2p,0)且與拋物線且與拋物線 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B兩點，求證：兩點，求證：OAOB.OAOB.2yxyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)證明證明（1）當(dāng)直線當(dāng)直線l斜率存在時設(shè)斜率存在時設(shè) 其方程為其方程為y=k(x-2p)04)24(22222kpxppkxk24pxxBA2222164pxxpyyBABA24 pyyBA0BABAyyxx所以所以O(shè)AOB.OAOB.代入代入

10、y2=2px得，得，可知可知又又（2）當(dāng)直線當(dāng)直線l斜率不存在時設(shè)斜率不存在時設(shè) 其方程為其方程為x=2p變題變題2 2： 若直線若直線l l與拋物線與拋物線 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B兩點，兩點，且且OAOB OAOB ，則，則_ 2y直線直線l l過定點過定點(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP(2p,0)驗證：由驗證：由 得得 所以所以直線直線l l的方程為的方程為 即即而因為而因為OAOB OAOB ，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直線得到直線l l 的方程為的方程為所以直線過定點（所以直線過定點（2p,0).2p,0).AABBpx

11、ypxy2222BABABAAByypxxyyk2)(2ABAAxxyypyy)2(2pyyxyypyBABA0BABAyyxx24 pyyBA)2(2pxyypyBA練習(xí)：練習(xí)：1、一個正三角形的三個頂點，都在拋、一個正三角形的三個頂點，都在拋物線物線 上，其中一個頂點為坐標(biāo)上，其中一個頂點為坐標(biāo)原點，則這個三角形的面積為原點，則這個三角形的面積為 。24yx48 3例例1：已知動點：已知動點P到定點到定點F和到定直線和到定直線 l（F不在定不在定直線直線l上）的距離的比為上）的距離的比為 ，則，則P點的軌跡是點的軌跡是 。2變題：已知點變題：已知點F不在不在l上，動點上，動點P到和到定直線

12、到和到定直線 l的距的距離和到定點離和到定點F距離的比為距離的比為 ，則，則P點的軌跡是點的軌跡是 。2變題：已知動點變題：已知動點P到定點到定點F的距離和到定直線的距離和到定直線 l的距的距離相等的點的軌跡是離相等的點的軌跡是 。例例2：已知動點：已知動點P(x,y) 滿足滿足則則P的軌跡是的軌跡是 124y3x) 2y() 1x(522 變題：已知動點變題：已知動點P(x,y) 滿足滿足則則P的軌跡是的軌跡是 11-4y3x) 2y() 1x(522例例3：求下列曲線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程：求下列曲線的焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程（）（）222516400 xy22832xy216yx （2） （3）

13、的值為則的一條準(zhǔn)線方程為：若曲線例m10 x19y4mx422的坐標(biāo)。的最小值，并求此時點）（的最大值；）為橢圓上一動點，求（的右焦點，為橢圓），設(shè)，（：已知點例MMF2AM2MFAM1M112y16xF32-A522標(biāo)。標(biāo)。定點，并求出定點的坐定點，并求出定點的坐的垂直平分線經(jīng)過某一的垂直平分線經(jīng)過某一求證：線段求證：線段）求）求離成等差數(shù)列。（離成等差數(shù)列。（的距的距，（與焦點與焦點（的上支有不同的三點的上支有不同的三點：在雙曲線：在雙曲線例例AC)2( ;yy15)0F)y,xC),y,xB),y,xA112y13x62133221122 軌跡。求這個橢圓的左定點的），（，且過定點軸為準(zhǔn)線，離心率：橢圓以例21M21ey7