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1、28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（3 3）利用利用解直角三角形解直角三角形的知識的知識解決實際問題解決實際問題的的一般過程是一般過程是:1.將實際問題抽象為數(shù)學問題將實際問題抽象為數(shù)學問題;(畫出平面圖形畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)2.根據(jù)條件的特點根據(jù)條件的特點,適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;3.得到數(shù)學問題的答案得到數(shù)學問題的答案;4.得到實際問題的答案得到實際問題的答案.例例1. 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東65方向，距方向，距離燈塔離燈塔80海里的海里的A處，
2、它沿正南方向航行一段時間后，處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔到達位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，這時，海處，這時，海輪所在的輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠？有多遠？ （精確到（精確到0.01海里）海里）6534PBCA 指南或指北的方向線與目標方向線構成小于指南或指北的方向線與目標方向線構成小于900的角的角,叫做叫做方位角方位角. 如圖：點如圖：點A在在O的北偏東的北偏東30 點點B在點在點O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA東東西西北北南南方位角方位角例例1 如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東的北偏東65方
3、向，距離燈塔方向，距離燈塔80海里海里的的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向上的方向上的B處，這時，海輪所在的處，這時，海輪所在的B處距離燈塔處距離燈塔P有多遠（精確有多遠（精確到到0.01海里）？海里）？解：如圖解：如圖 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34PBPCB sin23.130559. 08 .7234sin8 .72sinBPCPB當海輪到達位于燈塔當海輪到達位于燈塔P的南偏東的南偏東34方向時，它距離燈塔方向時，它距離
4、燈塔P大約大約130.23海里海里6534PBCA 氣象臺發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號為氣象臺發(fā)布的衛(wèi)星云圖顯示，代號為W的臺風在某海島（設為的臺風在某海島（設為點點O）的南偏東）的南偏東45方向的方向的B點生成，測得點生成，測得 臺臺風中心從點風中心從點B以以40km/h的速度向正北方向移動，經(jīng)的速度向正北方向移動，經(jīng)5h后到達海后到達海面上的點面上的點C處因受氣旋影響，臺風中心從點處因受氣旋影響，臺風中心從點C開始以開始以30km/h的的速度向北偏西速度向北偏西60方向繼續(xù)移動以方向繼續(xù)移動以O為原點建立如圖為原點建立如圖12所示的所示的直角坐標系直角坐標系（1）臺風中心生成點）臺風中心生成點
5、B的坐標為的坐標為 ，臺風中心轉(zhuǎn)折點，臺風中心轉(zhuǎn)折點C的的坐標為坐標為 ；（結(jié)果保留根號）；（結(jié)果保留根號）（2）已知距臺風中心）已知距臺風中心20km的范圍內(nèi)均會受到臺風的侵襲如的范圍內(nèi)均會受到臺風的侵襲如果某城市（設為果某城市（設為A點）位于點點）位于點O的正北方向且處于臺風中心的移的正北方向且處于臺風中心的移動路線上，那么臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過多長時間？動路線上，那么臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過多長時間？100 6kmOBx/kmy/km北東AOBC圖12解：（1） (100 3 100 3)B，(100 3 200 100 3)C，（2）過點）過點C作作 于點于點D，如圖，如
6、圖2，則，則 CDOA100 3CD在在 中中 RtACD30ACD1003CD 3cos302CDCA2 0 0C A200206305611臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過臺風從生成到最初侵襲該城要經(jīng)過11小時小時60 x/kmy/kmAOBC圖圖2D例例4.海中有一個小島海中有一個小島A，它的周圍，它的周圍8海里范圍內(nèi)有暗礁，海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島點測得小島A在北偏在北偏東東60方向上，航行方向上，航行12海里到達海里到達D點，這時測得小島點，這時測得小島A在北偏東在北偏東30方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東方向上，如果漁船
7、不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？航行，有沒有觸礁的危險？BA ADF601230BADF解：由點解：由點A作作BD的垂線的垂線交交BD的延長線于點的延長線于點F，垂足為，垂足為F，AFD=90由題意圖示可知由題意圖示可知DAF=30設設DF= x , AD=2x則在則在RtADF中，根據(jù)勾股定理中，根據(jù)勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8沒有觸礁危險沒有觸礁危險3060 解直角三角形有廣泛的應用，解決問題時，要根據(jù)實際情況靈活運用解直角三角形有廣泛的應用，解決問題時，要根據(jù)
8、實際情況靈活運用相關知識，例如，當我們要測量如圖所示大壩的高度相關知識，例如，當我們要測量如圖所示大壩的高度h時，只要測出仰時，只要測出仰角角a和大壩的坡面長度和大壩的坡面長度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，當我們要測量如圖所，但是，當我們要測量如圖所示的山高示的山高h時，問題就不那么簡單了，這是由于不能很方便地得到仰角時，問題就不那么簡單了，這是由于不能很方便地得到仰角a和山坡長度和山坡長度l化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問題的策略化整為零，積零為整，化曲為直，以直代曲的解決問題的策略與測壩高相比，測山高的困難在于；壩坡是與測壩高相比，測山高的困難在于；壩坡是“直直
9、”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎樣解決這樣的問題呢？的，怎樣解決這樣的問題呢？hhll 我們設法我們設法“化曲為直，以直代曲化曲為直，以直代曲” 我們可以把山坡我們可以把山坡“化整化整為零為零”地劃分為一些小段，圖表示其中一部分小段，劃分小段地劃分為一些小段，圖表示其中一部分小段，劃分小段時，注意使每一小段上的山坡近似是時，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出這段的，可以量出這段坡長坡長l1，測出相應的仰角，測出相應的仰角a1，這樣就可以算出這段山坡的高度，這樣就可以算出這段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我們都構造出直角三角形，利用上面的方法分別算在每小段上
10、，我們都構造出直角三角形，利用上面的方法分別算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我們再然后我們再“積零為整積零為整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解決問題中所用的以上解決問題中所用的“化整為零，積零為整化整為零，積零為整”“”“化曲為直，以直代曲化曲為直，以直代曲”的做法，就是高等數(shù)學中微積分的基本思想，它在數(shù)學中有重要地位，在的做法，就是高等數(shù)學中微積分的基本思想，它在數(shù)學中有重要地位，在今后的學習中，你會更多地了解這方面的內(nèi)容今后的學習中，你會更多地了解這方面的內(nèi)容 例例5. 如圖，攔水壩的橫斷面為梯形如圖，攔水壩的橫斷面為梯
11、形ABCD（圖中（圖中i=1:3是指坡面的鉛直是指坡面的鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：的比），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求：（1）坡角）坡角a和和;（2）壩頂寬）壩頂寬AD和斜坡和斜坡AB的長（精確到的長（精確到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4 1.在解直角三角形及應用時經(jīng)常接觸到的一些概念在解直角三角形及應用時經(jīng)常接觸到的一些概念(方方位角位角;坡度、坡角等坡度、坡角等) 2.實際問題向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化實際問題向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化 (解直角三角形解直角三角形)利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角）根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；形；（3）得到數(shù)學問題的答案；）得到數(shù)學問題的答案；（4）得到實際問題的答案）得到實際問題的答案
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