數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 理

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1、第第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.1.簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都_，上、下底面是_且平行的多邊形；(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)_的三角形；(3)棱臺(tái)可由_于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.知知

2、 識(shí)識(shí) 梳梳 理理平行且相等全等公共頂點(diǎn)平行2.旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形_所在的直線圓錐直角三角形_所在的直線圓臺(tái)直角梯形_所在的直線球半圓_所在的直線任一邊任一直角邊垂直于底邊的腰直徑3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的_方、_方、_方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法基本要求：長對(duì)正，_，寬相等.在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.正前正左正上高平齊4.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為_，z軸與x軸、y軸所在平面_.(2)原圖形

3、中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別_坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度_，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳.斜二測45(或135)垂直平行于不變一半常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.2.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).3.空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同.4.對(duì)于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分

4、界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)用斜二測畫法畫水平放置的A時(shí)，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90，則在直觀圖中，A45.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()(4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形， 其俯視圖為圓心和圓.解析(1)反例：由兩個(gè)平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放

5、置的A時(shí)，把x，y軸畫成相交成45或135，平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平行于y軸，所以A也可能為135.答案(1)(2)(3)(4)2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱解析由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形.答案A3.如圖，長方體ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD.剩下的幾何體是()A.棱臺(tái)B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案C4.將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與

6、俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖.由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖，故其側(cè)視圖為圖.答案B5.正AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是_.6.(2017浙江五校聯(lián)考)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(異于C點(diǎn))，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為M.當(dāng)CQ_時(shí)(用數(shù)值表示)，M為等腰梯形；當(dāng)CQ4時(shí)，M的面積為_.考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】 (1)給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；直

7、角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)以下命題：以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于

8、一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.(2)由圓臺(tái)的定義可知錯(cuò)誤，正確.對(duì)于命題，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，不正確.答案(1)A(2)B規(guī)律方法(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.(3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】 下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾

9、何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線解析如圖1知，A不正確.如圖2，兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯(cuò)誤.由母線的概念知，選項(xiàng)D正確.答案D考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖(多維探究)命題角度1由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖【例21】 一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長方體，且五面體的一個(gè)面

10、即為長方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項(xiàng)B適合.答案B命題角度2由三視圖判定幾何體【例22】 (1)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱(2)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為()答案(1)B(2)C規(guī)律方法(1)由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn).(2)根據(jù)三視圖還原幾何體.對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉.明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)

11、推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù).提醒對(duì)于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.【訓(xùn)練2】 (1)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()(2)(2018杭州一模)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的側(cè)面PAB的面積是()解析(1)還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線.故選B.(2)由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)三棱錐，底

12、面是一個(gè)正三角形，后面的側(cè)棱與底面垂直.該幾何體的側(cè)面PAB的面積答案(1)B(2)D考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖：規(guī)律方法(1)畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45或135)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.【訓(xùn)練3】 (2017余姚一中檢測)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_.解析如圖1，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E.