數(shù)學(xué)第八章 立體幾何 第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 文

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1、第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系總綱目錄教材研讀1.四個公理考點突破2.空間中兩直線的位置關(guān)系3.有關(guān)角的重要定理考點二空間兩直線的位置關(guān)系考點二空間兩直線的位置關(guān)系考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用4.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系考點三異面直線所成的角考點三異面直線所成的角1.四個公理四個公理公理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi).公理公理2:過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.公理2的三個推論:推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.推論推論2:兩條相交直線確定一個平面.教材研讀教材研讀推論推論3:兩條平行直線確定

2、一個平面.公理公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.2.空間中兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類位置關(guān)系的分類:.(2)異面直線所成的角異面直線所成的角(i)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O作直線aa,bb,把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(ii)范圍:.:平行直線共面直線相交直線異面直線 不同在任何一個平面內(nèi)0,23.有關(guān)角的重要定理有關(guān)角的重要定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角 相等或互補.4.空間直線與平面、平面與

3、平面的位置關(guān)系空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、直線在平面內(nèi)三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況. 1.下列命題:經(jīng)過三點確定一個平面;梯形可以確定一個平面;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案答案C對于,未強調(diào)三點不共線,故錯誤;易知正確;對于,未強調(diào)三點不共線,若三點共線,則兩平面也可能相交,故錯誤.故選C.C2.以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是()不共面的四點中,其中任意三點不共線;若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則

4、A,B,C,D,E共面;若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3B答案答案B顯然是正確的,可用反證法證明;中若A、B、C三點共線,則A、B、C、D、E五點不一定共面;構(gòu)造長方體或正方體,如圖,顯然b、c異面,故不正確;中空間四邊形中四條線段不共面.故只有正確.3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b()A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線答案答案C假設(shè)cb,由公理4可知,ab,與a、b是異面直線矛盾,故選C.C4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是

5、AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成的角的大小為.答案答案60解析解析連接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C(或其補角)為所求角,又B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60.60典例典例1已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且CG=BC,CH=DC.求證:(1)E、F、G、H四點共面;(2)三直線FH、EG、AC共點.1313考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用考點突破考點突破EFBD.又CG=BC,CH=DC,GHBD,EFGH,E、F、G、H四點共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,

6、設(shè)FHAC=M,M平面EFHG,M平面ABC.1313證明證明(1)連接EF、GH,E、F分別是AB、AD的中點,又平面EFHG平面ABC=EG,MEG,FH、EG、AC共點.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)(1)證明點共線問題:公理法:先找出兩個平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上;同一法:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.(2)證明線共點問題:先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經(jīng)過該點.(3)證明點、直線共面問題:納入平面法:先確定一個平面,再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi);輔助平面法:先證明有關(guān)的點、線確定平面,再證明其余元素確定平面,最后證明平

7、面,重合.1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則各圖形中,P,Q,R,S四點共面的是(填序號).答案答案解析解析對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形;對于,如圖所示,取A1A和BC的中點分別為M,N,順次連接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;對于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為平行四邊形;對于,連接PS,PR,SR,可證Q點所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點不共面.1-2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD;BEFA且BE=FA,G、H分別為FA、FD的中點.(1)

8、證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C、D、F、E四點是否共面?為什么?1212解析解析(1)證明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GHAD且GH=AD.又BCAD且BC=AD,GHBC,四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C、D、F、E四點共面.理由如下:解法一:由BEFA且BE=FA,G為FA的中點知BEFG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG,由(1)可知BGCH,EFCH,EF與CH共面.又DFH,C、D、F、E四點共面.121212解法二:如圖所示,延長FE、DC分別與AB的延長線交于點M、M,BEFA且BE=FA,B為MA的中點.BCAD且BC=AD,1212B為AM的中

9、點.M與M重合.即EF與CD相交于點M(M),C、D、F、E四點共面.典例典例2(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行(2)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在原正四面體中,考點二空間兩直線的位置關(guān)系考點二空間兩直線的位置關(guān)系命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的序號是.解析解析(1)如

10、圖,連接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正確;CC1平面ABCD,CC1BD,MN與CC1垂直,故A正確;ACBD,MNBD,MN與AC垂直,故B正確;答案答案(1)D(2)A1B1與BD異面,MNBD,MN與A1B1不可能平行,故D錯誤.(2)把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線.連接GM,易知GHM為正三角形,則GH與MN成60角.易知MNAF,且AFDE,則DEMN.命題角度二異面直線的判定命題角度二異面直線的判定典例典例3(1)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則各圖形中直線GH與MN是異面直線的是.(填序號)(2)

11、如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為.答案答案(1)(2)3解析解析(1)中,直線GHMN;中,當(dāng)G,H,N三點共面時,M 平面GHN,因此直線GH與MN異面;中,連接MG,易知GMHN,因此GH與MN共面;中,當(dāng)G,M,N三點共面時,H 平面GMN,因此直線GH與MN異面.(2)將展開圖還原為正方體,如圖所示,顯然,AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行,故互為異面直線的有且只有3對.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)空間中兩直線的位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定,對于異面直線

12、,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對于垂直關(guān)系,往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.2-1給定下列關(guān)于異面直線的命題:命題(1):若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線,直線c是與的交線,那么c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個命題都正確D.兩個命題都不正確D答案答案D當(dāng)c與a,b都相交,但交點不是同一個點時,平面上的直線a與平面上的b為異面直線,因此判斷(1)是假命題,如

13、圖所示;對于(2),可以取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不平行,則這些直線中任意兩條都是異面直線,從而(2)是假命題.故選D.典例典例4如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值.23考點三異面直線所成的角考點三異面直線所成的角解析解析(1)因為PA底面ABC,所以PA是三棱錐P-ABC的高.又SABC=22=2,所以三棱錐P-ABC的體積為V=SABCPA=22=.(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(

14、或其補角)是異面直線BC與AD所成的角.易知PB=2,PC=4,BC=4,1233131334 332則在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,所以cosADE=.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.222222( 2)2 2 2 3434方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;(2)二證:即證明作出的角(或其補角)是異面直線所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.3-1空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E、F分別為BC、AD的中點,求EF與AB所成角的大小.解析解析取AC的中點G,連接EG、FG,則EGAB,且EG=AB,FGCD且FG=CD,GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角,EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角.AB與CD所成的角為30,EGF=30或150.由AB=CD知EG=FG,1212由EG=FG知EFG為等腰三角形,當(dāng)EGF=30時,GEF=75;當(dāng)EGF=150時,GEF=15.故EF與AB所成的角為15或75.