數(shù)學第八章 立體幾何 8.4 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 文 新人教B版

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1、8 8. .4 4直線、平面平行的判定與性質(zhì)直線、平面平行的判定與性質(zhì)-2-知識梳理雙基自測231自測點評1.平行直線(1)平行公理:過直線外一點一條直線和已知直線平行.(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性):平行于的兩條直線互相平行.(3)定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊,并且,那么這兩個角相等.(4)空間四邊形:順次連接的四點A,B,C,D所構(gòu)成的圖形,叫做空間四邊形.有且只有 同一條直線 分別對應平行 方向相同 不共面 -3-知識梳理雙基自測自測點評2312.直線與平面平行的判定與性質(zhì) a,b,ab a,a,=b -4-知識梳理雙基自測自測點評231a,b,ab=P,a,b ,=a

2、,=b 3.平面與平面平行的判定與性質(zhì) 2-5-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.()(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.()(3)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a.()(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)-6-知識梳理雙基自測自測點評234152.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中

3、,正確的是(填序號).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-7-知識梳理雙基自測自測點評234153.已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一點(不與端點重合),則在正方體的12條棱中,與平面ABP平行的直線是. 答案解析解析關(guān)閉DC,D1C1,A1B1均平行于直線AB,依據(jù)直線與平面平行判定定理,均可證明它們平行于平面ABP. 答案解析關(guān)閉DC,D1C1,A1B1-8-知識梳理雙基自測自測點評234154. 在四面體ABCD中,M,N分別是平面ACD,BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是. 答案

4、解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測自測點評234155.如圖所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,則M滿足條件時,有MN平面B1BDD1. 答案解析解析關(guān)閉由題意易知平面HNF平面B1BDD1,當M點滿足在線段FH上有MN平面B1BDD1. 答案解析關(guān)閉M線段FH-10-知識梳理雙基自測自測點評1.推證線面平行時,一定要說明一條直線在平面外,一條直線在平面內(nèi).2.推證面面平行時,一定要說明一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面.3.利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平

5、行轉(zhuǎn)化為線線平行時,必須說明經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,則該直線與交線平行.-11-考點1考點2考點3例1(1)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,m,n,則mnB.若,m,n,則mnC.若mn,m,n,則D.若m,mn,n,則(2)設(shè)m,n表示不同直線,表示不同平面,則下列結(jié)論中正確的是()A.若m,mn,則nB.若m,n,m,n,則C.若,m,mn,則nD.若,m,nm,n,則n思考如何借助幾何模型來找平行關(guān)系? 答案解析解析關(guān)閉(1)A中,m與n可相交、可異面、可平行;B中,m與n可平行、可異面;C中,若,仍然可滿足mn,m,n,故C錯誤;故D

6、正確.(2)A錯誤,n有可能在平面內(nèi);B錯誤,平面有可能與平面相交;C錯誤,n也有可能在平面內(nèi);D正確,易知m或m,若m,又nm,n ,n,若m,過m作平面交平面于直線l,則ml,又nm,nl,又n ,l,n. 答案解析關(guān)閉 (1)D(2)D-12-考點1考點2考點3解題心得線面平行、面面平行的命題真假判斷多以小題出現(xiàn),處理方法是數(shù)形結(jié)合,畫圖或結(jié)合正方體等有關(guān)模型來解題.-13-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練1(1)若直線ab,且直線a平面,則直線b與平面的位置關(guān)系是()A.bB.bC.b或bD.b與相交或b或b(2)給出下列關(guān)于互不相同的直線l,m,n和平面,的三個命題:若l與m為異面

7、直線,l,m,則;若,l,m,則lm;若=l,=m,=n,l,則mn.其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.0 答案解析解析關(guān)閉(1)可以構(gòu)造一草圖來表示位置關(guān)系,經(jīng)驗證,當b與相交或b或b時,均可滿足直線ab,且直線a平面的情況,故選D.(2)中,當與相交時,也能存在符合題意的l,m;中,l與m也可能異面;中,l,l,=mlm,同理ln,則mn,正確. 答案解析關(guān)閉(1)D(2)C-14-考點1考點2考點3例2如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(

8、2)求四面體N-BCM的體積.思考證明線面平行的關(guān)鍵是什么?-15-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3解題心得證明線面平行的關(guān)鍵及探求線線平行的方法:(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線;(2)利用幾何體的特征,合理利用三角形中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行;(3)注意說明已知的直線不在平面內(nèi),即三個條件缺一不可.-18-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練2(1)如圖,G,N,M,H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案 的序號)-1

9、9-考點1考點2考點3(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問:AM和CN是不是異面直線?說明理由.D1B和CC1是不是異面直線?說明理由.-20-考點1考點2考點3(1)證明: 連接AC,設(shè)ACBD=O,連接OE,四邊形ABCD為矩形,O為AC的中點,在ASC中,E為AS的中點,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.-21-考點1考點2考點3(2)解: 過點E作EHAB,垂足為H,BCAB,且BCSB,ABSB=B,BC平面SAB,EH平面ABS,EHBC,又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD,在SAB中,取AB中

10、點M,連接SM,SA=SB,SMAB,SM=1.-22-考點1考點2考點3例3一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.思考證明面面平行的常用方法有哪些?-23-考點1考點2考點3解 (1)點F,G,H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面A

11、CH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.-24-考點1考點2考點3解題心得判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)面面平行的傳遞性(,);(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l,l ).-25-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練3如圖所示,在三棱錐S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.過點A作AFSB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.-26-考點1考點2考點3證明: (1)因為AS=AB,AFSB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA的中點,所以EFAB.因為EF平面

12、ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因為平面SAB平面SBC,且交線為SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因為BC平面SBC,所以AFBC.又因為ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因為SA平面SAB,所以BCSA.-27-考點1考點2考點31.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向如圖所示:2.直線與平面平行的主要判定方法:(1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì).3.平面與平面平行的主要判定方法:(1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a,a.-28-考點1考點2考點

13、31.在推證線面平行時,一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi),否則會出現(xiàn)錯誤.2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.-29-審題答題指導如何作答平行關(guān)系證明題典例(12分)如圖,幾何體E-ABCD是四棱錐,ABD為正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求證:BE=DE;(2)若BCD=120,M為線段AE的中點,求證:DM平面BEC.-30-規(guī)范解答(1)如圖,取BD的中點O,連接CO,EO.由于CB=CD,所以COBD

14、.(1分)又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC,(2分)因此BDEO.(3分)又O為BD的中點,所以BE=DE.(5分)-31-(2)證法一:如圖,取AB的中點N,連接DM,DN,MN.因為M是AE的中點,所以MNBE.(6分)又MN平面BEC,BE平面BEC,所以MN平面BEC.(7分)因為ABD為正三角形,所以BDN=30.又CB=CD,BCD=120,所以CBD=30,所以DNBC.(9分)因為DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDN=N,故平面DMN平面BEC,(11分)因為DM平面DMN,所以DM平面BEC.(12分)-32-證法二

15、:如圖,延長AD,BC交于點F,連接EF.因為CB=CD,BCD=120,所以CBD=30.(7分)因為ABD為正三角形,所以ABD=60,ABC=90.因此AFB=30,所以AB=12AF.(9分)又AB=AD,所以D為線段AF的中點.(10分)連接DM,由點M是線段AE的中點,因此DMEF.(11分)因為DM平面BEC,EF平面BEC,所以DM平面BEC.(12分)-33-答題模板證明線面平行問題的答題模板(一)第一步:作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線;第二步:證明線線平行;第三步:根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行;第四步:反思回顧,檢查關(guān)鍵點及答題規(guī)范.證明線面平行問題的答題模板(二)第一步:在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面;第二步:利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平行;第三步:證明所作平面與所證平面平行;第四步:轉(zhuǎn)化為線面平行;第五步:反思回顧,檢查答題規(guī)范.-34-反思提升立體幾何解答題的過程要講究步驟完整、格式要符合要求,每步推理要有理有據(jù),不可跨度太大,以免漏掉得分點.本題易忽視DM平面EBC,造成步驟不完整而失分.