數(shù)學(xué)第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 理

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1、第第6節(jié)數(shù)學(xué)歸納法節(jié)數(shù)學(xué)歸納法最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.知知 識識 梳梳 理理第一個(gè)值n0(n0N*)nk12.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2.推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”

2、)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()解析對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項(xiàng).答案(1)(2)(3)(4)解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.答案C答案D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(

3、kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真.解析由于步長為2，所以2k1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k1.答案2k16.(2017寧波調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_.解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個(gè)值n2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n2k，故應(yīng)假設(shè)成x2ky2k能被xy整除.答案2x2ky2k能被xy整除考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，所以等式成立.規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)由nk時(shí)等式成立，推

4、出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.【訓(xùn)練1】 求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，右邊2，故等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知，對所有nN*等式成立

5、.考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】 (2017浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知對任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.考點(diǎn)三歸納猜想證明規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)nN*，猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明.