新版高考數(shù)學一輪復(fù)習學案訓(xùn)練課件: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算學案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第十節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算 [考綱傳真] 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (對應(yīng)學生用書第30頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念 (1)當x1趨于x0

3、,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個固定的值,那么這個值就是函數(shù)y=f(x)在x0點的瞬時變化率.在數(shù)學中,稱瞬時變化率為函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù),通常用符號f′(x0)表示,記作f′(x0)= = . (2)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)值記為f′(x):f′(x)= ,則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),通常也簡稱為導(dǎo)數(shù). 2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

4、3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) y=c(c為常數(shù)) y′=0 y=xα(α∈常數(shù)) y′=αxα-1 y=sin x y′=cos_x y=cos x y′=-sin_x y=ex y′=ex y=ax(a>0,a≠1) y′=axln_a y=ln x y′= y=logax(a>0,a≠1) y′= y=tan x y′= y=cot x y′=- 4.導(dǎo)數(shù)的運算法則 若f′(x),g′(x)存在,則有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+

5、f(x)·g′(x); (3)′=(g(x)≠0). [知識拓展] 1.曲線y=f(x)“在點P(x0,y0)處的切線”與“過點P(x0,y0)的切線”的區(qū)別:前者P(x0,y0)為切點,而后者P(x0,y0)不一定為切點. 2.直線與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相切只有一個公共點;直線與非二次曲線相切,公共點不一定只有一個. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同.(  ) (2)求f′(x0)時,可先求f(x0)再求f′(x0).(  ) (3)曲線的切線

6、與曲線不一定只有一個公共點.(  ) (4)若f(a)=a3+2ax-x2,則f′(a)=3a2+2x.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改編)有一機器人的運動方程為s(t)=t2+(t是時間,s是位移),則該機器人在時刻t=2時的瞬時速度為(  ) A.     B.     C.     D. D [由題意知,機器人的速度方程為v(t)=s′(t)=2t-,故當t=2時,機器人的瞬時速度為v(2)=2×2-=.]  3.(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(0)的值為___

7、_____. 3 [因為f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3.] 4.(20xx·全國卷Ⅰ)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為________. x-y+1=0 [∵y′=2x-,∴y′|x=1=1, 即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k=1, ∴切線方程為y-2=x-1, 即x-y+1=0.] 5.(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(1,f(1))處的切線過點(2,7),則a=________. 1 [∵f′(x)=3ax2+1,∴f′(

8、1)=3a+1. 又f(1)=a+2, ∴切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切線過點(2,7),∴7-(a+2)=3a+1, 解得a=1.] (對應(yīng)學生用書第31頁) 導(dǎo)數(shù)的計算  求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=exln x; (2)y=x; (3)y=x-sincos; (4)y=. 【導(dǎo)學號:00090059】 [解] (1)y′=(ex)′ln x+ex(ln x)′=exln x+ex·=ex. (2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-. (3)∵y=x-sin x,∴y′=1-cos

9、x. (4)y′=′= =-. [規(guī)律方法] 1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則是導(dǎo)數(shù)計算的前提,求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡,然后求導(dǎo),這樣可以減少運算量提高運算速度,減少差錯. 2.如函數(shù)為根式形式,可先化為分數(shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo). [變式訓(xùn)練1] (1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=3x2+2x·f′(2),則f′(5)=(  ) A.2   B.4 C.6 D.8 (2)(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f′(1)=3,則a

10、的值為________. (1)C (2)3 [(1)f′(x)=6x+2f′(2), 令x=2,得f′(2)=-12. 再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=30-24=6. (2)f′(x)=a=a(1+ln x). 由于f′(1)=a(1+ln 1)=a,又f′(1)=3,所以a=3.] 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 角度1 求切線方程  已知曲線y=x3+. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程; (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程. [思路點撥] (1)點P(2,4)是切點,先利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,再利用點斜式寫出切線方程;

11、 (2)點P(2,4)不一定是切點,先設(shè)切點坐標為,由此求出切線方程,再把點P(2,4)代入切線方程求x0. [解] (1)根據(jù)已知得點P(2,4)是切點且y′=x2, ∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′=4, ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. (2)設(shè)曲線y=x3+與過點P(2,4)的切線相切于點A, 則切線的斜率為y′=x, ∴切線方程為y-=x(x-x0), 即y=x·x-x+. ∵點P(2,4)在切線上, ∴4=2x-x+, 即x-3x+4=0, ∴x+x-4x+4=0, ∴x(x

12、0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0. 角度2 求切點坐標  若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標是________. (e,e) [由題意得y′=ln x+x·=1+ln x,直線2x-y+1=0的斜率為2.設(shè)P(m,n),則1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即點P的坐標為(e,e).] 角度3 求參數(shù)的值  (1)已知直線y=x+b與曲線y=-x+ln x相切,則b的值為(  ) A

13、.2     B.-1 C.- D.1 (2)(20xx·西寧復(fù)習檢測(一))已知曲線y=在點(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=(  ) A.-2     B.2 C.-     D. (1)B (2)A [(1)設(shè)切點坐標為(x0,y0), y′=-+, 則y′|x=x0=-+,由-+=得x0=1,切點坐標為,又切點在直線y=x+b上,故-=+b,得b=-1. (2)由y′=得曲線在點(3,2)處的切線斜率為-,又切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=-2,故選A.] [規(guī)律方法] 1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是函數(shù)y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線的斜率,切點既在曲線上,又在切線上,切線有可能和曲線還有其他的公共點. 2.曲線在點P處的切線是以點P為切點,曲線過點P的切線則點P不一定是切點,此時應(yīng)先設(shè)出切點坐標. 易錯警示:當曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線垂直于x軸時,函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程是x=x0.

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