《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理 北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
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2、 1
第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.
(對應(yīng)學(xué)生用書第49頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1;
(2)商數(shù)關(guān)系
3、:tan α=.
2.誘導(dǎo)公式
組序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口訣
函數(shù)名不變,符號看象限
函數(shù)名改變
符號看象限
記憶規(guī)律
奇變偶不變,符號看象限
[知識拓展] 1.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用:(1)求值:負化正,大化小,化到銳
4、角為終了.
(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.
2.“1”代換sin2α+cos2α=1.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.( )
(2)若α∈R,則tan α=恒成立.( )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.( )
(4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變,符號看象限”,其中的“奇、偶”是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍,“變與不變”指函數(shù)名稱是否變化.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改編)已知α是第
5、二象限角,sin α=,則cos α等于( )
A.- B.- C. D.
B [∵sin α=,α是第二象限角,
∴cos α=-=-.]
3.cos-sin=________.
[cos-sin=cos+sin=cos+sin
=cos +sin =+=.]
4.已知tan α=2,則的值為________.
[∵tan α=2,
∴===.]
5.已知sin=,α∈,則sin(π+α)=________.
- [因為sin=cos α=,α∈,所以sin α==,所以sin(π+α)=-sin α=-.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第50頁)
同角
6、三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
(1)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為( )
A.- B.
C.- D.
(2)(20xx·全國卷Ⅲ)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( )
A. B.
C.1 D.
(1)B (2)A [(1)∵<α<,
∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,
∴cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴cos α-sin α=.
(2)∵tan α=,則cos2α+2sin 2α====,故選A.]
7、[規(guī)律方法] 同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用:對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值等于( )
【導(dǎo)學(xué)號:7914010
8、5】
A. B.-
C. D.-
(2)已知sin θ+cos θ=,θ∈,則sin θ-cos θ的值為( )
A. B.-
C. D.-
(1)D (2)B [(1)法一:因為α為第四象限的角,故cos α===,
所以tan α===-.
法二:因為α是第四象限角,且sin α=-,所以可在α的終邊上取一點P(12,-5),則tan α==-.故選D.
(2)因為(sin θ+cos θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ=1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=,則(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θ
9、·cos θ=1-2sin θcos θ=.又因為θ∈,所以sin θ<cos θ,
即sin θ-cos θ<0,
所以sin θ-cos θ=-.]
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
(1)化簡sin(-1 071°)sin 99°+sin (-171°)·sin(-261°)的結(jié)果為( )
A.1 B.-1
C.0 D.2
(2)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
(1)C (2)C [(1)原式=(-sin 1 071°)·sin 99°+sin 171°·
10、sin 261°
=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·sin(270°-9°)=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0.
(2)當(dāng)k為偶數(shù)時,A=+=2;
k為奇數(shù)時,A=-=-2.]
[規(guī)律方法] 利用誘導(dǎo)公式的方法與步驟
(1)方法:利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系,尤其是角之間的互余、互補關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進行化歸.
(2)步驟:
易錯警示:利用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號問題.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·南昌一模)(1)若sin=,則cos=_____
11、___.
(2)計算:=________.
(1) (2)-1 [cos=cos=sin=.
(2)原式=
==
=-=-·=-1.]
同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________.
(2)(20xx·鄭州質(zhì)檢)已知cos=2sin,則的值為________.
【導(dǎo)學(xué)號:79140106】
(1)- (2) [(1)由題意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==.
tan=tan=-
=-=-=-.
(2)∵cos=2sin,
∴-sin α=-2cos α,
12、則sin α=2cos α,
代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=.
=
==cos2α-=.]
[規(guī)律方法] 三角函數(shù)求值與化簡的常用方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=進行弦切互化.
(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.
(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan等.
(4)利用相關(guān)角的互補、互余等特殊關(guān)系可簡化解題步驟.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知sin α=,α是第二象限角,則tan(π-α)=________.
(2)(20xx·湖北調(diào)考)已知tan=5,則=( )
A. B.-
C.± D.-
(1) (2)B [(1)∵sin α=,α是第二象限角,
∴cos α=-,
∴tan α=-,故tan(π-α)=-tan α=.
(2)∵tan===-=5,∴tan x=-,∴===-,故選B.]